Question

如图，平面直角坐标系xOy中，点B、C在x轴上，点A在y轴上，线段BA所在的直线解析式为y=

3

4

x+3，AC⊥AB．

（1）求C点坐标；
（2）袋内E从B点出发，沿线段BA向A点以每秒1个单位的速度运动，点F从点C出发沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动；E、F两点同时出发，当E到达终点时，F点也停止运动，连接EF，以EF为斜边在EF的下方作Rt△EFP，使∠EFP的正切值为

1

2

，过P作BC的垂线，垂足为K，连接EK，设△BEK的面积为S，求出S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）条件下，点Q是y轴上一点，当△PEQ是以PQ为腰的等腰直角三角形时，求t的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据直线AB的解析式即可求得A、B的坐标，从而求得OA、OB，然后根据△AOB∽△COA，即可求得OC，从而求得C的坐标；
（2）连接BP、CP、EP，先求得△PBE∽△PCF，得出∠BPE=∠CPF，从而证得△BPC∽△EPF，得出∠EFP=∠BCP，∠PBC=∠PEF，得出

BK

PK

=

1

2

，

PK

CK

=

1

2

，进而得出

BK

CK

=

1

4

，从而求得BK、EN，然后根据三角形的面积公式即可求得S与t的函数关系式；
（3）分两种情况分别讨论即可求得．

解答：解：（1）∵点A、B在直线y=

3

4

x+3上，
∴A（0，3），B（-4，0），
∴OA=3，OB=4，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=∠AOC=∠AOB=90°，
∴∠ABO+∠BAO=∠BAO+OAC=90°，
∴∠ABO=∠OAC，
∴△AOB∽△COA，
∴

AO

CO

=

OB

OA

，
∴OC=

9

4

，
∴C（

9

4

，0）．

（2）如图1，连接BP、CP、EP，作EN⊥BC于N，PK⊥BC于K，
∵∠BAC=∠EPF=90°，
∴∠AEP+∠AFP=180°，
∵∠BEP+∠AEP=180°，
∴∠BEP=∠CFP，
∵BE=t，CF=2t，

PE

PF

=

1

2

，
∴

BE

CF

=

PE

PF

，
∴△PBE∽△PCF，
∴∠BPE=∠CPF，
∵∠EPF=90°，
∴∠BPC=∠EPF=90°，
∵

BP

CP

=

EP

FP

，
∴△BPC∽△EPF，
∴∠EFP=∠BCP，∠PBC=∠PEF，
∴

BK

PK

=

1

2

，

PK

CK

=

1

2

，
∴

BK

CK

=

1

4

，
∵BC=4+

9

4

=

25

4

，
∴BK=

5

4

，
∵EN=

3

5

BE=

3

5

t，
∴S=

1

2

BK•EN=

1

2

×

5

4

×

3

5

t=

3

8

t（0＜t＜5）．

（3）由（2）可得：PK=

5

2

，
∴P（-

11

4

，-

5

2

），
当∠PQE=90°时，如图2，则EN=

3

5

t，BN=

4

5

t，ES=4-

4

5

t，ST=

3

5

t+

5

2

，
易证△ESQ∽△QTP，
∴QS=PT，
∴4-

4

5

t+

11

4

=

3

5

t+

5

2

，
∴t=

85

28

；
当∠EPQ=90°时，如图3，则EN=

3

5

，ET=

3

5

t+

5

2

，
易证△ETP∽△PVQ，
∴ET=PV，
∴

11

4

=

3

5

t+

5

2

，
∴t=

5

12

；
综上所述：t的值为

85

28

或

5

12

．

点评：本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，直角三角函数的应用以及三角形面积公式的应用等，根据题意作出图形是解题的关键．