Question

10．2016年跳水世界杯，于2月19日至24日在巴西里约举行，中国队取得佳绩．优秀成绩的取得离不开艰辛的训练，某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD的高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．
（1）当k=4时，求这条抛物线的解析式；
（2）当k=4时，求运动员落水点与点C的距离；
（3）图中CE=$\frac{19}{4}$米，CF=$\frac{21}{4}$米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线顶点坐标M（3，4），可设抛物线解析为：y=a（x-3）²+4，将点A（2，3）代入可得；
（2）在（1）中函数解析式中令y=0，求出x即可；
（3）若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水达到训练要求，则在函数y=a（x-3）²+k中当x=$\frac{19}{4}$时y＞0，且x=$\frac{21}{4}$时y＜0，解不等式即可得．

解答 解：（1）如图所示：

根据题意，可得抛物线顶点坐标M（3，4），A（2，3）
设抛物线解析为：y=a（x-3）²+4，
则3=a（2-3）²+4，
解得：a=-1，
故抛物线解析式为：y=-（x-3）²+4；
（2）由题意可得：当y=0，则0=-（x-3）²+4，
解得：x₁=1，x₂=5，
故抛物线与x轴交点为：（5，0），
当k=4时，求运动员落水点与点C的距离为5米；
（3）根据题意，抛物线解析式为：y=a（x-3）²+k，
将点A（2，3）代入可得：a+k=3，即a=3-k
若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水，
则当x=$\frac{19}{4}$时，y=$\frac{49}{16}$a+k≥0，即$\frac{49}{16}$（3-k）+k≥0，
解得：k≤$\frac{49}{11}$，
当x=$\frac{21}{4}$时，y=$\frac{81}{16}$a+k≤0，即$\frac{81}{16}$（3-k）+k≤0，
解得：k≥$\frac{243}{65}$，
故$\frac{243}{65}$≤k≤$\frac{49}{11}$．

点评 此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用顶点式求出二次函数解析式是解题基础，判断入水的位置对应的抛物线上点的坐标特点是解题关键．