Question

18．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边DA与y轴正半轴重合，D与原点重合．且AD=2，AB=1，以DB为对称轴，将Rt△ADB翻折，点A落在点E处，过E点作EM⊥x轴，垂足是M，另有一点F与点B关于原点对称．
（1）求E点坐标；
（2）在双曲线y=$\frac{10}{13x}$上是否存在这样的点G，使得S_△BOM=S_△GFM．

Answer 1

分析 （1）证得RT△BEH≌RT△OCH，得出CH=EH，设EH=x，则BH=2-x，在RT△BEH中，根据勾股定理得出即1²+x²=（2-x）²，解得x=$\frac{3}{4}$，然后根据平行线分线段成比例定理即可求得OM和EM，得出E的坐标；
（2）求得直线FM的直线方程，根据点到直线的距离公式得出点G到直线FM的距离，然后根据三角形面积公式得出关于x的方程，解方程即可求得．

解答 解：（1）∵OA∥BC，
∴∠AOB=∠OBC，
∵∠AOB=∠BOE，
∴∠OBC=∠BOE，
∴OH=DH，
在RT△BEH和RT△OCH中
$\left\{\begin{array}{l}{DH=OH}\\{BE=OC}\end{array}\right.$
∴RT△BEH≌RT△OCH（HL），
∴CH=EH，
设EH=x，则BH=2-x，
在RT△BEH中，BE²+EH²=BH²，
即1²+x²=（2-x）²，解得x=$\frac{3}{4}$，
∴CH=EH=$\frac{3}{4}$，OH=DH=$\frac{5}{4}$，
∵EM⊥x轴，
∴EM∥BC，
∴$\frac{OH}{OE}$=$\frac{CH}{EM}$=$\frac{OC}{OM}$，即$\frac{\frac{5}{4}}{2}$=$\frac{\frac{3}{4}}{EM}$=$\frac{1}{OM}$
∴EM=$\frac{6}{5}$，OM=$\frac{8}{5}$，
∴M（$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$）；
（2）∵OM=$\frac{8}{5}$，BC=2，
∴M（$\frac{8}{5}$，0），S_△BOM=$\frac{1}{2}$OM•BC=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{5}$×2=$\frac{8}{5}$，
∵AD=2，AB=1，
∴B（1，2），
∵点F与点B关于原点对称，
∴F（-1，-2），
∴MF=$\sqrt{（\frac{8}{5}+1）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{\sqrt{269}}{5}$，
设直线FM的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=-2}\\{\frac{8}{5}k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{10}{13}}\\{b=-\frac{16}{13}}\end{array}\right.$，
∴直线FM的解析式为y=$\frac{10}{13}$x-$\frac{16}{13}$，
∴直线方程为10x-13y-16=0，
设存在点G（x，$\frac{10}{13x}$），使得S_△BOM=S_△GFM．
那么，点G到直线FM的距离为：d=$\frac{|10x-\frac{10}{x}-16|}{\sqrt{1{0}^{2}+1{3}^{2}}}$=$\frac{|10x-\frac{10}{x}-16}{\sqrt{269}}$，
∴$\frac{1}{2}$MF•d=$\frac{8}{5}$，
即$\frac{1}{2}$×$\frac{|10x-\frac{10}{x}-16}{\sqrt{269}}$×$\frac{\sqrt{269}}{5}$=$\frac{8}{5}$，
整理得|10x-$\frac{10}{x}$-16|=16，
当10x-$\frac{10}{x}$-16=16，解得x=$\frac{8±2\sqrt{41}}{5}$，
当10x-$\frac{10}{x}$-16=-16，解得x=±1，
故在双曲线y=$\frac{10}{13x}$上存在这样的点G，使得S_△BOM=S_△GFM，此时点G的坐标为（$\frac{8+2\sqrt{41}}{5}$，$\frac{-4+\sqrt{41}}{13}$）或（$\frac{8-2\sqrt{41}}{5}$，$\frac{-4-\sqrt{41}}{13}$）或（1，$\frac{10}{13}$）或（-1，-$\frac{10}{13}$）．

点评 本题是反比例函数的综合题，考查了折叠的性质，矩形的性质，待定系数法求一次函数的解析式勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理，点到直线的距离公式等．