Question

【题目】在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“培圣三角形”，如：三个内角分别为120、 40、 20的三角形是“培圣三角形”.如图， MON 60，在射线OM 上找一点 A ，过点 A 作 AB OM 交ON 于点 B ，以 A 为端点作射线 AD ， 交线段OB 于点C （规定0 OAC 90 ）.

（1） ABO 的度数为_____， AOB____（填“是”或“不是”）培圣三角形；

（2）若BAC 60，求证： AOC 为“培圣三角形”；

（3）当ABC 为“培圣三角形”时，求OAC 的度数.

Answer 1

【答案】（1）30°，是（2）见解析（3）80°或52.5°或30°.

【解析】

（1）根据垂直的定义、三角形的内角和定理求出∠ABO的度数，根据“培圣三角形”的定义即可求解；

（2）根据“培圣三角形”的定义证明∠ACO=3∠OAC，即可求解；

（3）设∠OAC=x,则∠BAC=90°-x,∠ACB=60+x,∠ABC=30°，根据“培圣三角形”的定义性质即可分情况讨论求解.

（1）∵AB⊥OM，

∴∠OAB=90°，

∴∠ABO=90°-∠MON=30°，

∵∠OAB=3∠AB0，

∴AOB是“培圣三角形”

（2）∵AB⊥OM，

∴∠OAB=90°，

∵∠BAC=60°，

∴∠OAC=∠BAO-∠BAC=30°，

∵∠MON=60°，

∴∠ACO=180°-∠OAC-∠MON=90°，

∴∠ACO=3∠OAC，

∴△AOC为“培圣三角形”，

（3）设∠OAC=x,则∠BAC=90°-x,∠ACB=60+x,∠ABC=30°，

∵△ABC为“培圣三角形”，

∴①当∠ABC=3∠BAC时，∴30°=3（90°-x）解得x=80°；

②当∠ABC=3∠ACB时，∴30°=3（60°+x）解得x=-50°，故舍去；

③当∠BCA=3∠BAC时，∴60°+x=3（90°-x）解得x=52.5°；

④当∠BCA=3∠ABC时，∴60°+x=90°解得x=30°；

⑤当∠BAC=3∠ABC时，∴90°-x =90°解得x=0°，故舍去；

⑥当∠BAC=3∠ACB时，∴90°-x =3（60°+x）解得x=-22.5°，故舍去；

综上：∠OAC的度数为80°或52.5°或30°.