Question

3．数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是3；
②数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为|x+2|；
③若x表示一个有理数，且-3＜x＜1，则$|\begin{array}{l}{x-1}\end{array}|+|\begin{array}{l}{x+3}\end{array}|$=4；
④若x表示一个有理数，且$|\begin{array}{l}{x-1}\end{array}|+|\begin{array}{l}{x+3}\end{array}|$＞4，则有理数x的取值范围是x＜-3或x＞1．

Answer 1

分析 ①②在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|，依此即可求解；
③根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解；
④将x的位置分三种情况讨论，可得出x的取值范围．

解答 解：①数轴上表示2和5两点之间的距离是|5-2|=3；
②根据绝对值的定义有：数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为|x-（-2）|=|x+2|或|-2-x|=|x+2|；
③∵-3＜x＜-1
∴x+（-1）=x-1＜0，x-（-3）=x+3＞0
∴$|\begin{array}{l}{x-1}\end{array}|+|\begin{array}{l}{x+3}\end{array}|$=1-x+x+3=4；
④∵当x＜-3时，|x-1|+|x+3|=1-x-x-3=-2x-2，
当-3≤x≤1时，|x-1|+|x+3|=1-x+x+3=4，
当x＞1时，|x-1|+|x+3|=x-1+x+3=2x+2
∴$|\begin{array}{l}{x-1}\end{array}|+|\begin{array}{l}{x+3}\end{array}|$＞4，则有理数x的取值范围是：x＜-3或x＞1．
故答案为：①3；②|x+2|；③4；④x＜-3或x＞1．

点评 本题考查了数轴和绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示方法是解题的关键，数轴上两点间的距离等于两数差的绝对值．注意分类思想的运用．