Question

10．若直线$y=\frac{1}{2}x+2$分别交x轴、y轴于A、B两点，点P是该直线上的一点，PC⊥x轴，C为垂足．
（1）求△AOB的面积．
（2）如果四边形PCOB的面积等△AOB的面积的一半，求出此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据直线的解析式求得与坐标轴的交点，然后根据三角形面积公式求得即可；
（2）设P（m，$\frac{1}{2}$m+2），根据梯形的面积公式列出方程解方程即可求得．

解答 解：（1）由y=$\frac{1}{2}$x+2可知A（-4，0），B（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=4；
（2）设P（m，$\frac{1}{2}$m+2），
∵四边形PCOB的面积等△AOB的面积的一半，S_△AOB=4，
∴四边形PCOB的面积为2，
∴$\frac{1}{2}$（|$\frac{1}{2}$m+2|+2）（|m|）=2，
当m＞0时，m²+8m-8=0，求解并舍去负值得m=2$\sqrt{6}-4$；
当0＞m≥-4时，m²+8m+8=0，求解并舍去不是这个区间的值，得m=2$\sqrt{2}$-4；
当m＜-4时，$\frac{1}{2}{m}^{2}=4$，解得m=$±2\sqrt{2}$（都不合题意，舍去）
解得m=2$\sqrt{6}-4$或m=2$\sqrt{2}$-4，
∴P点坐标为（2$\sqrt{6}-4$，$\sqrt{6}$）或（2$\sqrt{2}$-4，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积以及梯形的面积，根据解析式求得与坐标轴的交点是解题的关键．