Question

19．如图，小区A与公路l的距离AC=200米，小区B与公路l的距离BD=400米，已知CD=800米，现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，超市应建在哪？
（1）请在图中画出点P；
（2）求CP的长度；
（3）求PA+PB的最小值．

Answer 1

分析 （1）如图1：作A关于l的对称点A′，连接A′B，交l于P，即可得到结果；
（2）如图2，建立如图的平面直角坐标系：于是得到A′（0，-200），B′（800，400），设求得直线A′B的解析式：y=$\frac{3}{4}$x-200，当y=0时，即$\frac{3}{4}$x-200=0，求得x=266$\frac{2}{3}$，即可得到结论；
（3）由对称性得PA+PB的最小值为线段A′B的长，作A′E⊥BE于点E，在Rt△A′BE中，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）如图1：作A关于l的对称点A′，
连接A′B，交l于P，
p即为所求的点；

（2）如图2，建立如图的平面直角坐标系：
则A′（0，-200），B′（800，400），
设A′B：y=kx+b，
把A（0，-200），B（800，400）分别代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-200}\\{400=800k+b}\end{array}\right.$，
解得k=$\frac{3}{4}$，b=-200，
∴直线A′B的解析式：y=$\frac{3}{4}$x-200，
当y=0时，即$\frac{3}{4}$x-200=0，
解得：x=266$\frac{2}{3}$，
∴CP为266$\frac{2}{3}$米；

（3）由对称性得PA+PB的最小值为线段A′B的长，
作A′E⊥BE于点E，在Rt△A′BE中，
A′E=OD=800，BE=BD+DE=BD+OA′=BD+AO=400+200=600，
∴A′B=$\sqrt{A′{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{80{0}^{2}+60{0}^{2}}$=1000，
∴PA+PB的最小值=1000．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，作图-应用与设计作图，坐标与图形的性质，确定出P的位置是本题的关键．