Question

在锐角△ABC中，外心、重心到边AB的距离分别为4和3，则垂心到AB的距离为

 

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Answer 1

考点：三角形的外接圆与外心

专题：计算题

分析：从三角形重心的唯一性入手，主证HO与中线BE的交点与重心G重合，进而得出垂心到AB的距离．

解答：解：设锐角△ABC的外心为O，H为垂心，
连接中位线DE（如图）．则DE∥AB，
又∵AH∥OD，BH∥OE（BH、OE同垂直于AC）．
∴△DEO∽△ABH，
从而OE：HB=DE：AB=1：2．
连接OH交中线BE于G′．
∵BH∥OE，
∴△OEG′∽△HBG′．
因此，EG′：BG′=OE：HB=1：2．
这说明G′点即为△ABC的重心G．
从而H、G、O三点共线，
∵外心、重心到边AB的距离分别为4和3，
∴垂心到AB的距离为：4-3=1．
故答案为：1．

点评：此题主要考查了三角形外心以及重心和垂心的性质、三角形相似的性质等知识，得出H、G、O三点共线是解题关键．