Question

从特殊到一般、类比等数学思想方法，在数学探究性学习中经常用到，如下是一个具体案列，请完善整个探究过程．
已知：点C在直线AB上，AC=a，BC=b，且a≠b，点M是AB的中点，请按照下面三个步骤探究线段MC的长度．
（1）特值尝试
若a=10，b=6，其点C在线段AB上，求线段MC的长度．
（2）周密思考
若a=10，b=6，则线段MC的长度只能是（1）中的结果吗？请说明理由．
（3）问题解决
类比（1）（2）的解答思路，试探究线段MC的长度（用含a、b的代数式表示）．

Answer 1

考点：两点间的距离

专题：探究型

分析：（1）由题意画图，根据图形和线段之间的和差关系求解即可；
（2）由于点B的位置不能确定，故应分当B点在线段AC的上和当B点在线段AC的延长线上两种情况进行分类讨论；
（3）由（1）（2）可知MC的长度为AC-

1

2

AB，即可得到答案．

解答：解：（1）如图：
∵AC=10，BC=6，
∴AB=AC+BC=16，
∵点M是AB的中点，
∴AM=

1

2

AB=8，
∴MC=AC-AM=10-8=2．
（2）线段MC的长度不只是（1）中的结果，
由于点B的位置不能确定，故应分当B点在线段AC的上和当B点在线段AC的延长线上两种情况：
①如图，当B点在线段AC上时，
∵AC=10，BC=6，
∴AB=AC-BC=4，
∵点M是AB的中点，
∴AM=

1

2

AB=2，
∴MC=AC-AM=10-2=8．
②当B点在线段AC的延长线上，如题（1），
此时MC=AC-AM=10-8=2．
（3）由（1）（2）可知MC=AC-AM=AC-

1

2

AB，
因为当B点在线段AC的上，AB=AC-BC，故MC=AC-

1

2

（AC-BC）=

1

2

AC+

1

2

BC=

1

2

（a+b），
当B点在线段AC的延长线上，AB=AC+BC，故MC=AC-

1

2

（AC+BC）=

1

2

AC-

1

2

BC=

1

2

（a-b）．

点评：本题主要考查中点的定义，线段之间的和差关系，两点间的距离，掌握线段间的和差关系与分类讨论的数学思想是解题的关键．