Question

如图，△ABC为等边三角形．O为BC的中垂线AH上的动点，⊙O经过B，C两点，D为弧上一点，D，A两点在BC边异侧，连接AD，BD，CD．
（1）如图1，若⊙O经过点A，求证：BD+CD=AD；
（2）如图2，圆心O在BD上，若∠BAD=45°；求∠ADB的度数；
（3）如图3，若AH=OH，求证：BD²+CD²=AD²．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）利用图1，在DA上截取DM=DC，连接MC，由于⊙O经过点A，由∠ADC=∠ABC=60°，得出△MDC为等边三角形，易证△AMC≌△△BDC，可得AM=BD，即可得出结论，
（2）由点O在BD上，即BD为直径，可得∠BCD=90°，结合AH⊥BC，可得AO∥CD，∠OAD=∠ADC，由角的关系可得∠CAD=∠CDA，可得AC=DC，BC=DC，∠BDC=45°，即可求出∠ADB的值．
（3）利用图3，连接OB，OC，以点C为中心，把△ACD顺时针旋转60°，得到△BCN，连接DN，则AD=BN，DN=DC，∠ACB=∠DCN=60°，由AH=OH，可得△DCN，△BOC均为等边三角形，∠BOC=∠CDN=60°，∠BDC=30°，∠BDN=90°，由勾股定理可得BD²+CD²=BN²，即可得出BD²+CD²=AD²．

解答：证明：（1）如图1，在DA上截取DM=DC，连接MC，

∵⊙O经过点A，
∴∠ADC=∠ABC=60°，
∴△MDC为等边三角形，
∴MC=DC，∠MCD=∠ACB=60°，
∴∠BCD=∠ACM，
又∵∠MAC=∠DBC，AC=BC，
∴△AMC≌△△BDC，
∴AM=BD，
∴BD+CD=AD，
（2）∵点O在BD上，即BD为直径，
∴∠BCD=90°，
∵AH⊥BC，
∴AO∥CD，
∴∠OAD=∠ADC，
∵∠BAD=45°，
∴∠OAD=∠CAD=15°，
∴∠CAD=∠CDA=15°，
∴AC=DC，
∴BC=DC，
∴∠BDC=45°，
∴∠ADB=30°．
（3）如图3，连接OB，OC，以点C为中心，把△ACD顺时针旋转60°，得到△BCN，连接DN，则AD=BN，DN=DC，∠ACB=∠DCN=60°．

∵AH=OH，
∴△DCN，△BOC均为等边三角形，∠BOC=∠CDN=60°，
∴∠BDC=30°，
∴∠BDN=90°，
∴BD²+CD²=BN²，
∴BD²+CD²=AD²．

点评：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是正确作出辅助线，利用等边三角形的性质求解．