【题目】如图,四边形ABCD是矩形,点P是对角线AC上一动点(不与A、C 重合),连接PB,过点P作PE⊥PB,交射线DC于点E,已知AD=3,sin∠BAC=.设AP的长为x.
(1)AB等于多少;当x=1时,等于多少;
(2)①试探究: 否是定值?若是,请求出这个值;若不是,请说明理由;
②连接BE,设△PBE的面积为S,求S的最小值.
【答案】(1) 4, ;(2)①是定值,;②
【解析】
(1)作PM⊥AB于M交CD于N.由△BMP∽△PNE,推出 ,只要求出PN、BM即可求解;
(2)①结论:的值为定值.证明方法类似(1);
②利用勾股定理求出PB2,根据三角形的面积公式,利用二次函数的性质即可解决问题.
解:(1)作PM⊥AB于M交CD于N.
∵四边形ABCD是矩形,
∴BC=AD=3,∠ABC=90°,
∴AC= =5,AB= =4.
在Rt△APM中,PA=1,PM= ,AM= ,
∴BM=AB-AM= ,
∵MN=AD=3,
∴PN=MN-PM= ,
∵∠PMB=∠PNE=∠BPE=90°,
∴∠BPM+∠EPN=90°,∠EPN+∠PEN=90°,
∴∠BPM=∠PEN,
∴△BMP∽△PNE,
∴ ,
故答案为4, ;
(2)①结论: 的值为定值.
理由:由PA=x,可得PM=x.AM=x,BM=4-x,PN=3-x,
∵△BMP∽△PNE,
∴ ;
②在Rt△PBM中,PB2=BM2+PM2=(4-x)2+(x)2=x2-x+16,
∵,
∴PE=PB,
∴S=PBPE=PB2=(x2-x+16)=(x-)2+ ,
∵0<x<5,
∴x=时,S有最小值=.
故答案为:(1)4, ;(2)①是定值,②x=时, =.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴交于点B.
(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标;
(3)设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.
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【题目】如图,放置在水平桌面上的台灯灯臂AB长为42cm,灯罩BC长为32cm,底座厚度为2cm,灯臂与底座构成的∠BAD=60°.使用发现,光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°,此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm?
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【题目】为了传承中华优秀传统文化,某校组织了一次八年级350名学生参加的“汉字听写”大赛,赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分.为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况,随机抽取了其中若干名学生的成绩(成绩取整数,总分100分)作为样本进行整理,得到下列不完整的统计图表:
成绩x/分 | 频数 | 频率 |
50≤x<60 | 2 | 0.04 |
60≤x<70 | 6 | 0.12 |
70≤x<80 | 9 | |
80≤x<90 | 0.36 | |
90≤x≤100 | 15 | 0.30 |
请根据所给信息,解答下列问题:
(1)a等于多少,b等于多少;
(2)请补全频数分布直方图;
(3)这次比赛成绩的中位数会落在哪个分数段;
(4)若成绩在90分以上(包括90分)的为“优”等,则该年级参加这次比赛的350名学生中成绩“优”等的约有多少人?
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【题目】已知如图,以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E,连接EO并延长交BC的延长线于点D,作OF∥AB交BC于点F,连接EF.
(1)求证:OF⊥CE;
(2)求证:EF是⊙O的切线;
(3)若⊙O的半径为3,∠EAC=60°,求CD的长.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,将对角线AC绕对角线交点O旋转,分别交边AD、BC于点E、F,点P是边DC上的一个动点,且保持DP=AE,连接PE、PF,设AE=x(0<x<3).
(1)填空:PC= ,FC= ;(用含x的代数式表示)
(2)求△PEF面积的最小值;
(3)在运动过程中,PE⊥PF是否成立?若成立,求出x的值;若不成立,请说明理由.
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【题目】如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均在格点上。
(I)AB的长度等于
(II)请你在图中找到一个点P,使得AB是∠PAC的角平分线请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出点P,并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明)
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【题目】如图,已知直线AC的表达式为y=x+8,点P从点A开始沿AO向点O以1个单位/s的速度移动,点Q从点O开始沿OC向点C以2个单位/s的速度移动.如果P,Q两点分别从点A,O同时出发,经过几秒能使△PQO的面积为8个平方单位?
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