Question

【题目】已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，设OD＝m．

(1)问题发现

如图1，△CDE的形状是　 　三角形．

(2)探究证明

如图2，当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．

(3)解决问题

是否存在m的值，使△DEB是直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)等边；(2)存在，当6＜t＜10时，△BDE的最小周长2+4；(3)当m＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．

【解析】

（1）由旋转的性质得到∠DCE＝60°，DC＝EC，即可得到结论；

（2）当6＜m＜10时，由旋转的性质得到BE＝AD，于是得到C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，根据等边三角形的性质得到DE＝CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；

（3）存在，①当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，

②当0≤m＜6时，由旋转的性质得到∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，求得∠BED＝90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB＝60°，求得∠CEB＝30°，求得OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2＝m

③当6＜m＜10时，此时不存在；

④当m＞10时，由旋转的性质得到∠DBE＝60°，求得∠BDE＞60°，于是得到m＝14．

(1)∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，

∴∠DCE＝60°，DC＝EC，

∴△CDE是等边三角形；

故答案为：等边；

(2)存在，当6＜t＜10时，

由旋转的性质得，BE＝AD，

∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，

由(1)知，△CDE是等边三角形，

∴DE＝CD，

∴C△DBE＝CD+4，

由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，

此时，

∴△BDE的最小周长

(3)存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，

∴当点D与点B重合时，不符合题意，

②当0≤m＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，

∴∠BED＝90°，

由(1)可知，△CDE是等边三角形，

∴∠DEB＝60°，

∴∠CEB＝30°，

∵∠CEB＝∠CDA，

∴∠CDA＝30°，

∵∠CAB＝60°，

∴∠ACD＝∠ADC＝30°，

∴DA＝CA＝4，

∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，

∴m＝2；

③当6＜m＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，

∴此时不存在；

④当m＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，

又由(1)知∠CDE＝60°，

∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，

而∠BDC＞0°，

∴∠BDE＞60°，

∴只能∠BDE＝90°，

从而∠BCD＝30°，

∴BD＝BC＝4，

∴OD＝14，

∴m＝14，

综上所述：当m＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．