Question

【题目】如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标，纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3，…An，…．将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y＝x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…An，…．则顶点M1的坐标为_____，顶点M2的坐标为_____，顶点M2018的坐标为_____．

Answer 1

【答案】（1，1）， （3，3）， （4035，4035）.

【解析】

根据抛物线的解析式结合整数点的定义，找出点An的坐标为（n，n2），设点Mn的坐标为（a，a），则以点Mn为顶点的抛物线解析式为y＝（xa）2＋a，由点An的坐标利用待定系数法，即可求出a值，将其代入点Mn的坐标即可得出结论．

解：∵抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3，…，An，…，

∴点An的坐标为（n，n2）．

设点Mn的坐标为（a，a），则以点Mn为顶点的抛物线解析式为y＝（x﹣a）2+a，

∵点An（n，n2）在抛物线y＝（x﹣a）2+a上，

∴n2＝（n﹣a）2+a，解得：a＝2n﹣1或a＝0（舍去），

∴Mn的坐标为（2n﹣1，2n﹣1），

∴顶点M1的坐标为（1，1），顶点M2的坐标为（3，3），顶点M2018的坐标为（4035，4035），

故答案为：（1，1），（3，3），（4035，4035）．