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【题目】在线段AB的同侧作射线AM和BN,若MAB与NBA的平分线分别交射线BN,AM于点E,F,AE和BF交于点P.如图,点点同学发现当射线AM,BN交于点C;且ACB=60°时,有以下两个结论:

APB=120°;②AF+BE=AB.

那么,当AMBN时:

(1)点点发现的结论还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请求出APB的度数,写出AF,BE,AB长度之间的等量关系,并给予证明;

(2)设点Q为线段AE上一点,QB=5,若AF+BE=16,四边形ABEF的面积为,求AQ的长.

【答案】(1)原命题不成立,新结论为:APB=90°,AF+BE=2AB(或AF=BE=AB);(2)FAB=60°时,AQ=

【解析】

试题分析:(1)由角平分线和平行线整体求出MAB+NBA,从而得到APB=90°,最后用等边对等角,即可.

(2)先根据条件求出AF,FG,求出FAG=60°,最后分两种情况讨论计算.

试题解析:(1)原命题不成立,新结论为:APB=90°,AF+BE=2AB(或AF=BE=AB)

理由:AMBN,∴∠MAB+NBA=180°,AE,BF分别平分MAB,NBA,∴∠EAB=MAB,FBA=NBA,∴∠EAB+FBA=MAB+NBA)=90°,∴∠APB=90°,AE平分MAB,∴∠MAE=BAE,AMBN,∴∠MAE=BAE,∴∠BAE=BEA,AB=BE,同理:AF=AB,AF=+BE=2AB(或AF=BE=AB);

(2)如图1,过点F作FGAB于G,AF=BE,AFBE,四边形ABEF是平行四边形,AF+BE=16,AB=AF=BE=8,=8×FG,FG=,在RtFAG中,AF=8,∴∠FAG=60°,当点G在线段AB上时,FAB=60°,当点G在线段BA延长线时,FAB=120°

①如图2,当FAB=60°时,PAB=30°,PB=4,PA=BQ=5,BPA=90°,PQ=3,AQ=或AQ=

②如图3,当FAB=120°时,PAB=60°,FBG=30°,PB=PB=5,线段AE上不存在符合条件的点Q,FAB=60°时,AQ=

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尺码(厘米)

40

40.5

41

41.5

42

购买量(双)

1

2

3

2

2

则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为(

A. 40.5;41 B. 41;41 C. 40.5;40.5 D. 41;40.5

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