【题目】如图,是等边的边 上一点,是延长线上一点,连接交于,过点作于点.证明下列结论:
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析
【解析】
(1)由等边△ABC,DG⊥AC,可求得∠AGD=90°,∠ADG=30°,然后根据直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半,即可证得AG=AD;
(2)首先过点D作DH∥BC交AC于点H,证得△ADH是等边三角形,又由CE=DA,可利用AAS证得△DHF≌△ECF,继而可得DF=EF;
(3)由△ABC是等边三角形,DG⊥AC,可得AG=GH,即可得S△ADG=S△HDG,又由△DHF≌△ECF,即可证得S△DGF=S△ADG+S△ECF.
证明:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°,
∵DG⊥AC,
∴∠AGD=90°,∠ADG=30°,
∴AG=AD;
(2)过点D作DH∥BC交AC于点H,
∴∠ADH=∠B,∠AHD=∠ACB,∠FDH=∠E,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠ACB=∠A=60°,
∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°,
∴△ADH是等边三角形,
∴DH=AD,
∵AD=CE,
∴DH=CE,
在△DHF和△ECF中,
∴△DHF≌△ECF(AAS),
∴DF=EF
(3)∵△ABC是等边三角形,DG⊥AC,
∴AG=GH,
∴S△ADG=S△HDG,
∵△DHF≌△ECF,
∴S△DHF=S△ECF,
∴S△DGF=S△DGH+S△DHF=S△ADG+S△ECF.
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【题目】如图1,已知直线,点,在直线上,点,在直线上,且,若保持不动,线段向右匀速平移,如图2反映了的长度随时间的变化而变化的情况,则:
(1)在线段开始平移之前, ;
(2)线段向右平移了 ,向右平移的速度是 ;
(3)如图3反映了的面积随时间的变化而变化的情况,则
①平行线,之间的距离是 ;
②当时,直接写出关于的函数关系式(不必化简).
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【题目】自从新冠肺炎疫情爆发,我国高度重视并采取了强有力的措施进行防控,像钟南山爷爷和李兰娟奶奶等无数白衣天使为保卫大家的安全奋斗在抗疫一线. 武汉是疫情最先爆发的地区,“一方有难,八方支援”是中华传统美德,为了帮助武汉人民尽快度过难关,某校七年级全体同学参加了捐款活动.现随机抽查了部分同学捐款的情况统计如图所示:
(1)在本次调查中,一共抽查了_________名学生;
(2)请补全条形统计图,并计算在扇形统计图中,“捐款 20元”对应的圆心角度数是 度;
(3)在七年级600名学生中,捐款15元以上(不含15元)的学生估计有多少人?
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【题目】如图,面积为,第一次操作:分别延长至点使,顺次连结,得到,第二次操作:分别延长至点,使,顺次连结,得到, ..按此规律,要使得到的三角形的面积超过,至少经过_________次操作.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,,且满足式子.
(1)求出的值;
(2)①在轴的正半轴上存在一点,使的面积等于的面积的一半,求出点的坐标;
②在坐标轴的其它位置是否存在点,使的面积等于的面积的一半仍然成立,若存在,直接写出其他符合条件的点的坐标;
(3)如图2,过点作轴交轴于点,点为线段延长线上一动点,连接,平分,,当点运动时,求证:
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=5,过点A、B作⊙O,交AD,BC于点E,F,连接BE,CE,过点F作FG⊥CE,垂足为G.
(1)当点F是BC的中点时,求证:直线FG与⊙O相切;
(2)若FG∥BE时,求AE的长.
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【题目】利用我们学过的知识,可以得出下面这个优美的等式:
;该等式从左到右的变形,不仅保持了结构的对称性,还体现了数学的和谐、简洁美.
⑴.请你证明这个等式;
⑵.如果,请你求出 的值.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)证明:四边形ACDE是平行四边形;
(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长.
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