Question

如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC的中点，DE垂直于AC，交AC的延长线于E，连接BC，若DE=6cm，CE=2cm，下列结论正确的是（　　）
①DE是⊙O的切线；②直径AB长为20cm；③弦AC长为15cm；④C为弧AD的中点．

• A、①②④
• B、①③④
• C、①②
• D、②③

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：连接OD，交BC于点F，可证明DE∥BC，可判断①；在△OCF中，由垂径定理结合勾股定理可求得圆的半径，可判断②；由垂径定理可求得BC的长，结合②可判断③；由弧相等可得弦相等可判断④；可得出答案．

解答：解：如图，连接OD，交BC于点F，连接OC，
∵D为弧BC的中点，
∴OD⊥BC，且CF=BF，
又∵AB为⊙O的直径，DE⊥AE，
∴∠BCE=∠DEC=∠CFD=90°，
∴四边形CEDF为矩形，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线，
故①正确；
∴DF=CE=2cm，CF=DE=6cm，
∴BC=2CF=12cm，
设半径为rcm，则OF=（r-2）cm，
在Rt△OCF中，由勾股定理可得OC²=OF²+CF²，即r²=（r-2）²+6²，解得r=10cm，
∴AB=20cm，
故②正确；
在Rt△ABC中，BC=12cm，AB=20cm，
∴AC=

AB2-BC2

=

202-122

=16（cm），
故③不正确；
若C为弧AD的中点，则AC=CD，
在Rt△CDE中，CE=2cm，DE=6cm，由勾股定理可求得CD=2

10

cm≠AC，
故④不正确；
综上可知正确的为①②，
故选C．

点评：本题主要考查切线的判定、垂径定理等知识的综合应用，从D为弧BC的中点为突破口，结合垂径定理、勾股定理求得半径是解题的关键．