Question

如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，其中点B的坐标为（4，3），点C和点P分别为直角边OA、斜边OB上的动点，则PA+PC的最小值为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,坐标与图形性质

专题：

分析：作A关于OB的对称点D，过D作DC⊥OA于C，此时PA+PC的值最小，根据三角形相似的性质求出CD，即可得出答案．

解答：解：作A关于OB的对称点D，过D作DC⊥OA于C交OB于P，
则此时PA+PC=的值最小，
∵DP=PA，
∴PA+PC=PD+PC=CD，
∵B（4，3），
∴OB=5，
∵∠AMB=∠OAB=90°，∠ABM=∠OBA，
∴△ABM∽△OBA，
∴

AM

OA

=

AB

OB

，
∴AM=

4×3

5

=

12

5

，
∴AD=

24

5

，
∵∠DAC+∠MAB=∠B+∠MAB=90°，
∴∠DAC=∠B，
∵∠DCA=∠AMB=90°，
∴△ADC∽△ABM，
∴

DC

AM

=

AD

AB

，
即

DC

12 5

=

24 5

3

，
解得CD=

96

25

．

点评：本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，三角形相似的判定和性质，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．