Question

如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=

3

cm．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）求出∠COB的度数，求出∠A的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OCA的度数，根据切线的判定推出即可；
（2）如解答图所示，解题关键是证明△CDM≌△OBM，从而得到S_阴影=S_扇形BOC

解答：（1）证明：如图所示：连接OC与BD交于点M．
根据圆周角定理得：∠COB=2∠CDB=2×30°=60°，
∵AC∥BD，
∴∠A=∠OBD=30°，
∴∠OCA=180°-30°-60°=90°，
即OC⊥AC，
∵OC为半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，AC为⊙O的切线，
∴OC⊥AC．
∵AC∥BD，
∴OC⊥BD．
由垂径定理得：MD=MB=

1

2

BD=

3

2

，
在Rt△OBM中，∠COB=60°，
∴OB=

MB

cos30°

=

3 2

3 2

=1，
在△CDM和△OBM中，

∠CDM=∠OBM=30°   MD=MB   ∠CMD=∠OMB=90°

∴△CDM≌△OBM（ASA），
∴S_△CDM=S_△OBM，
∴阴影部分的面积S阴影=S扇形BOC=

60π•12

360

=

π

6

点评：本题考查了平行线性质、切线的性质、扇形的面积、三角形的面积、圆周角定理的应用；主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．