Question

在直角坐标系xOy中，一次函数y=

1

2

x+1的图象与二次函数y=-x²+

9

2

x+1的图象交于点A、B，则锐角∠ABO的正弦值等于（　　）

• A、

  2 5

  15

• B、

  2 5

  25

• C、

  2

  15

• D、

  2

  11

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题

分析：通过解方程组

y= 1 2 x+1 y=-x2+ 9 2 x+1

得A（0，1），B（4，3），如图，作AC⊥OB于C，则可根据勾股计算出OB=5，接着利用面积法求出AC=

4

5

，再在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC=

3

5

，则BC=OB-OC=

22

5

，然后在Rt△ABC中利用正切的定义求解．

解答：解：解方程组

y= 1 2 x+1 y=-x2+ 9 2 x+1

得

x=0 y=1

或

x=4 y=3

，
则A（0，1），B（4，3），
如图，作AC⊥OB于C，
OB=

42+32

=5，
△OBA的面积=

1

2

×1×4=2，
所以

1

2

AC•OB=2，即AC=

4

5

，
在Rt△AOC中，OC=

OA2-AC2

=

3

5

，
则BC=OB-OC=5-

3

5

=

22

5

，
在Rt△ABC中，tan∠ABC=

AC

BC

=

4 5

22 5

=

2

11

，
即锐角∠ABO的正弦值等于

2

11

．
故选D．

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴直线x=-

b

2a

．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题和解直角三角形．