Question

如图，已知抛物线经过点A（2，0），B（3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A，O，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（3）P是抛物线上第二象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据抛物线过A（2，0）及原点可设y=a（x-2）x，然后根据抛物线y=a（x-2）x过B（3，3），求出a的值即可；
（2）首先由A的坐标可求出OA的长，再根据四边形AODE是平行四边形，D在对称轴直线x=-1右侧，进而可求出D横坐标为：-1+2=1，代入抛物线解析式即可求出其横坐标；
（3）分△PMA∽△COB和△PMA∽△BOC表示出PM和AM，从而表示出点P的坐标，代入求得的抛物线的解析式即可求得t的值，从而确定点P的坐标．

解答：解：（1）根据抛物线过A（2，0）及原点，可设y=a（x-2）（x-0），
又∵抛物线y=a（x-2）x过B（3，3），
∴3（3-2）a=3，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-2）x=x²-2x；

（2）①若OA为对角线，则点D的坐标应为D（1，-1）；
②若OA为平行四边形的一边，则DE=OA，∵点E在抛物线的对称轴上，
∴点E横坐标为1，
∴点D 的横坐标为3或-1，代入y=x²-2x得D（3，3）和D（-1，3），
综上点D坐标为（1，-1），（3，3），（-1，3）．
（3）∵点B（3，3）C（1，-1），
∴△BOC为直角三角形，∠COB=90°，且OC：OB=1：3，
①如图1，若△PMA∽△COB，设PM=t，则AM=3t，
∴点P（2-3t，t），
代入y=x²-2x得（2-3t）²-2（2-3t）=t，
解得t₁=0（舍），t2=

7

9

，
∴P(-

1

3

，

7

9

)；
②如图2，若△PMA∽△BOC，
设PM=3t，则AM=t，点P（2-t，3t），代入y=x²-2x得（2-t）²-2（2-t）=3t，
解得t₁=0（舍），t₂=5，
∴P（-3，15）
综上所述，点P的坐标为(-

1

3

，

7

9

)或（-3，15）．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，同时也考查了学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．