Question

如图，在△ABC中，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ACD的外接圆
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若∠B=45°，AB=8

2

，AD=

2

，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）作直径CE，连接AE；先证明∠ACB=∠E，再证∠ACB+∠ACE=90°，即∠BCE=90°，即可证出BC为⊙O的切线；
（2）作AF⊥BC于F，先求出BC、AF、CF、AC的长，再运用锐角三角函数求出CE，即可得出半径OC．

解答：解：（1）证明：作直径CE，连接AE；如图所示：
∵CE是⊙O的直径，
∴∠CAE=90°，
∴∠E+∠ACE=90°，
∵∠D=∠ACB，∠D=∠E，
∴∠ACB=∠E，
∴∠ACB+∠ACE=90°，
即∠BCE=90°，
∴BC为⊙O的切线；
（2）作AF⊥BC于F，如图所示：
则∠AFB，=∠AFC=90°，
∵∠B=45°，
∴AF=BF=AB•sin45°=8

2

×

2

2

=8，
∵BC为⊙O的切线，BD=8

2

+

2

=9

2

，
根据切割线定理得：BC²=AB•BD=8

2

•9

2

=144，
∴BC=12，
∴CF=BC-BF=4，
∴AC=

82+42

=4

5

，
∴tan∠E=

AC

CE

=tan∠ACB=

AF

CF

=

8

4

=2，
∴CE=

1

2

AC=2

5

，
∴CE²=AE²+AC²=(2

5

)2+(4

5

)2=100，
∴CE=10，
∴OC=5，
即⊙O的半径为5．

点评：本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、切割线定理、勾股定理以及锐角三角函数；主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．