Question

【题目】我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”．

（特例感知）

（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．

①如图2，当为等边三角形，且时，则长为 ．

②如图3，当，且时，则长为 ．

（猜想论证）

（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑延长或延长，……）

（拓展应用）

（3）如图4，在四边形中，，，，以为边在四边形内部作等边，连接，．若是的“旋补三角形”，请直接写出的“旋补中线”长及四边形的边长．

Answer 1

【答案】（1）①，②；（2），见解析；（3），

【解析】

（1）①由旋补三角形的概念可证明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD=BC即可解决问题；

②首先证明△BAC≌△B′AC′，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；

（2）结论：AD=BC．如图1中，延长AD到Q，使得AD=DQ，连接B′Q，C′Q，首先证明四边形AC′QB′是平行四边形，再证明△BAC≌△AB′Q，即可解决问题；

（3）由，是等边三角形可得，由旋补三角形的概念可得，PB=PA，进而求出PB的长，再根据勾股定理就可求出BC的长，由（2）的结论即可求出旋补中线PE的长和AD的长．

解：（1）①∵是的“旋补三角形”，

∴，，,

∵为等边三角形，且，

∴，，

∴是等腰三角形，，

∴AD⊥，，

∴AD=3，

②∵是的“旋补三角形”，

∴，，,

∵，

∴，

∴，

∴，

∵AD为中线，

∴；

（2)猜想：

如图，延长至Q，使．

∵是的“旋补中线”，．

四边形是平行四边形，

，．

由定义可知，，

，，，．

∵，；

（3）过点P作PE⊥AB，取AD的中点F，连接PF，延长DP，过点A作AM⊥DM，如图，

∵，△PCD是等边三角形，

∴，

∵CD=6，

∴PC=CD=PD=6，

∵是的“旋补三角形”，

∴，PB=PA，，

∴△PAB是等腰三角形，，

∵PE⊥AB，

∴EB=EA

∵AB=12，

∴BE=6，，

在△PBC中，由勾股定理得，

，

由（2）可知，，

∴，

∵，

∴,

∵,

∴，

∴，，

∴MD=12，

在△AMD中，由勾股定理得，

∴．