Question

【题目】如图所示，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H．

（1）求证：△ABE∽△ECF；

（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；

（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=4，求EM的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）△ABH∽△ECM，详见解析；（3）

【解析】

（1）利用矩形的性质与EF⊥AE，证明∠BAE=∠CEF，从而可得答案，

（2）利用矩形的性质与BG⊥AC，证明∠ABH=∠ECM，结合（1）的结论可得答案，

（3）首先作MR⊥BC，垂足为R，由AB：BC=MR：RC=1：2，∠AEB=45°，即可求得MR的长，又由EM=即可求得答案．

解：1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABE=∠ECF=90°．

∵AE⊥EF，

∴∠AEB+∠FEC=90°．∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△ABE∽△ECF；

（2）△ABH∽△ECM．理由如下：

证明：∵BG⊥AC，

∴∠ABG+∠BAG=90°，

∴∠ABH=∠ECM，

由（1）知，∠BAH=∠CEM，

∴△ABH∽△ECM；．

（3）解：作MR⊥BC，垂足为R，

∵E是BC中点，BC=2AB，AB=4，

AB=BE=EC=4，∠AEB=45°，∠MER=45°，

∴AB：BC=MR：RC=，

∴CR=2MR，

∴MR=ER=

∴在Rt△EMR中，

EM=