Question

3．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，根据下列条件，求∠BIC的度数．
（1）若∠ABC+∠ACB=130°，则∠BIC=115°；
（2）若∠A=α，则∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$α（用含α的式子表示），请证明你的结论；
（3）如图，若BP，CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，交于点P，若已知∠A=α，则∠BPC=90°-$\frac{1}{2}$α（用含α的式子表示，不需写出证明）

Answer 1

分析 （1）由∠ABC+∠ACB=130°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，可求∠IBC+∠ICB的度数，再利用三角形内角和定理求∠BIC；
（2）求出∠ABC+∠ACB的度数，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，可求∠IBC+∠ICB的度数，再利用三角形内角和定理求∠BIC；
（3）求出∠ABC+∠ACB的度数，根据∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，可求∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形内角和定理求∠BPC．

解答 解：（1）∵∠ABC+∠ACB=130°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，
∴∠IBC+∠ICB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=65°，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=115°，
故答案为：115°；

（2）∵∠A=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α，
∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，
∴∠IBC+∠ICB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=90°+$\frac{1}{2}$α，
故答案为：90°+$\frac{1}{2}α$；
（3）∵∠A=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α，
又∵∠ABC与∠ACB的外角平分线交于点P，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠DBC+∠ECB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC+180°-∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°+$\frac{1}{2}$α
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=90°-$\frac{1}{2}α$，
故答案为：90°-$\frac{1}{2}α$．

点评 本题考查了三角形角平分线的性质，内角和定理的运用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，求解过程类似．