Question

【题目】已知：在平面直角坐标系中，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上（如图）．

（1）求点A，B，C的坐标．

（2）经过A，C两点的直线l上有一点P，点D（0，6）在y轴正半轴上，连PD，PB（如图1），若PB2﹣PD2＝24，求四边形PBCD的面积．

（3）若点E（0，1），点N（2，0）（如图2），经过（2）问中的点P有一条平行于y轴的直线m，在直线m上是否存在一点M，使得△MNE为直角三角形？若存在，求M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(8,0),B(8,8),C(0,8)；（2）15；（3）M的坐标是(3,7)或(3,2)

【解析】

(1)根据正方形的性质直接写出点A,B,C的坐标.

(2)求得直线AC的解析式为y=-x+8,过点P作平行于x轴的直线,根据题意可求点P的坐

标是:P(3,5),故四边形PBCD的面积=S +S

(3)根据第(2)中求得的P(3,5),设M(3,t),分类讨论:

①当∠MEN=90°时,ME=3+(t-1)2,EN=1+2,MN=1+t,利用勾股定理求得t的值,

②当∠MNE=90°时,同理可求:M(3,2).

③显然∠EMN不可能等于90°.

综合可得:使△MNE为直角三角形的点是M(3,7)或M(3,2),

(1)∵如图1,四边形OABC是正方形,且其边长为8,

∵.OA=AB=BC=OC=8,

∴A(8,0),B(8,8),C(0,8),

(2)设直线AC的解析式为y=k+8,

将A(8,0)代入,得0=8k+8,

解得k=-1

故直线AC的解析式为y=-x+8.

设P（x,-x+8）

∵PB-PD=24,D(0,6),B(8,8),

∴(x-8) +(-x+8-8) -x-(-x+8-6) =24,

解得x=3,

∴点P的坐标是:P(3,5),

∴四边形PBCD的面积=S +S =×2×3+×8×3=15

(3)根据第(2)中求得的P(3,5),设M(3,t),分类讨论:

①当∠MEN=90°时, ME =3+(t-1) ,EN=1+2,MN=1+t

∴MN=ME+EN

∴1+t=9+t-2t+1+5,

∴t=7,

∴M(3,7)

②当∠MNE=90°时,同理可求:M(3,2)

③显然∠EMN不可能等于90°

综合可得:使△MNE为直角三角形的点M的坐标是(3,7)或(3,2).