Question

【题目】（阅读材料）

小明遇到这样一个问题：如图1，点P在等边三角形ABC内，且∠APC＝150°，PA＝3，PC＝4，求PB的长．

小明发现，以AP为边作等边三角形APD，连接BD，得到△ABD；由等边三角形的性质，可证△ACP≌△ABD，得PC＝BD；由已知∠APC＝150°，可知∠PDB的大小，进而可求得PB的长．

（1）请回答：在图1中，∠PDB＝　 　°，PB＝　 　．

（问题解决）

（2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题：

如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，且PA＝1，PB＝，PC＝，求AB的长．

（灵活运用）

（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，且tanα＝，点P在△ABC外，且PB＝3，PC＝1，直接写出PA长的最大值．

Answer 1

【答案】（1）90°，5；（2） ；（3） .

【解析】

（1）由△ACP≌△ABD，得∠ADB=∠APC=150°，PC=BD=4，AD=AP=3，因为△ADP为等边三角形，所以∠ADP=60°，DP=AD=3，可得∠BDP=90°，在Rt△BDP中，用勾股定理可求得PB的长；

（2）如图2中，把△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD．首先证明∠PDB=90°，再证明A，P，D共线，利用勾股定理即可解决问题．

（3）如图3中，作CD⊥CP，使得CD=PC=，则PD=，利用相似三角形的性质求出AD，即可解决问题．

（1）如图1中，

∵△ACP≌△ABD，

∴∠PDB＝∠APC＝150°，PC＝BD＝4，AD＝AP＝3，

∵△ADP为等边三角形，

∴∠ADP＝60°，DP＝AD＝3，

∴∠BDP＝150°﹣60°＝90°，

∴PB＝＝5．

（2）如图2中，把△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD．

由旋转性质可知；BD＝PA＝1，CD＝CP＝2，∠PCD＝90°，

∴△PCD是等腰直角三角形，

∴PD＝PC＝×2＝4，∠CDP＝45°，

∵PD2+BD2＝42+12＝17，PB2＝（）2＝17，

∴PD2+BD2＝PB2，

∴∠PDB＝90°，

∴∠BDC＝135°，

∴∠APC＝∠CDB＝135°，∵∠CPD＝45°，

∴∠APC+∠CPD＝180°，

∴A，P，D共线，

∴AD＝AP+PD＝5，

在RtADB中，AB＝．

（3）如图3中，作CD⊥CP，使得CD＝PC＝，则PD＝，

∵tan∠BAC＝，

∴，

∵∠ACB＝∠PCD＝90°，

∴∠ACD＝∠BCP，

∴△ACD∽△BCP，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴PA的最大值为．