Question

2．已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A、B两点（A在B的左侧），且A点坐标为（-4，4）．平行于x轴的直线l过（0，-1）点．
（1）求一次函数与二次函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明；
（4）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单
位（t＞0），二次函数的图象与x轴交于M、N两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F、M、N三点的圆的面积最小？最小面积是多少？

Answer 1

分析 （1）已知了一次函数的图象经过A点，可将A点的坐标代入一次函数中，即可求出一次函数的解析式．由于抛物线的顶点为原点，因此可设其解析式为y=ax²，直接将A点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式；
（2）根据（1）中两函数的解析式即可求出B点的坐标；
（3）求直线与圆的位置关系需知道圆心到直线的距离和圆的半径长．由于直线l平行于x轴，因此圆心到直线l的距离为1．因此只需求出圆的半径，也就是求AB的长，根据A、B两点的坐标即可求出AB的长．然后判定圆的半径与1的大小关系即可；
（4）先设出平移后抛物线的解析式，不难得出平移后抛物线的对称轴为x=2．因此过F，M，N三点的圆的圆心必在直线x=2上，要使圆的面积最小，那么圆心到F点的距离也要最小（设圆心为C），即F，C两点的纵坐标相同，因此圆的半径就是2．C点的坐标为（2，1）（可根据一次函数的解析式求出F点的坐标）．可设出平移后的抛物线的解析式，表示出MN的长，如果设对称轴与x轴的交点为E，那么可表示出ME的长，然后在直角三角形MEC中根据勾股定理即可确定平移的距离．即t的值．

解答 解：（1）把A（-4，4）代入y=kx+1，
则4=-4k+1，
得：k=-$\frac{3}{4}$，
故一次函数的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+1；
∵二次函数图象的顶点在原点，对称轴为y轴，
∴设二次函数解析式为y=ax²，
把A（-4，4）代入y=ax²
得a=$\frac{1}{4}$，
故二次函数解析式为y=$\frac{1}{4}$x²．

（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+1}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
∴B（1，$\frac{1}{4}$），

（3）如图1所示：过A，B点分别作直线l的垂线，垂足为A'，B'，
则AA′=4+1=5，BB′=$\frac{1}{4}$+1=$\frac{5}{4}$．
故直角梯形AA'B'B的中位线长为$\frac{5+\frac{5}{4}}{2}$=$\frac{25}{8}$，
过B作BH垂直于直线AA'于点H，
则BH=A'B'=5，AH=4-$\frac{1}{4}$=$\frac{15}{4}$，
∴AB=$\sqrt{{5}^{2}+（\frac{15}{4}）^{2}}$=$\frac{25}{4}$，
∴AB的长等于AB中点到直线l的距离的2倍，
∴以AB为直径的圆与直线l相切．

（4）如图2所示：平移后二次函数解析式为y=$\frac{1}{4}$（x-2）²-t，
令y=0，得$\frac{1}{4}$（x-2）²-t=0，x₁=2-2$\sqrt{t}$，x₂=2+2$\sqrt{t}$，
∵过F，M，N三点的圆的圆心一定在平移后抛物线的对称轴上，
点C为定点，B要使圆面积最小，圆半径应等于点F到直线x=2的距离，
此时，半径为2，面积为4π，
设圆心为C，MN中点为E，连CE，CM，则CE=1，
在△CEM中，ME=$\sqrt{{2}^{2}-1}$=$\sqrt{3}$，
∴MN=2$\sqrt{3}$，而MN=|x₂-x₁|=4$\sqrt{t}$，
∴t=$\frac{3}{4}$，
∴当t=$\frac{3}{4}$时，过F，M，N三点的圆面积最小，最小面积为4π．

点评 此题主要考查了求一次函数解析式、二次函数的平移、勾股定理，二次函数的最值、解二元二次方程组等知识点的理解和掌握，解决问题的关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式，梯形的中位线等于上下底之和的一半，同时掌握二次函数平移的规律：上加下减，左加右减．