Question

14．课本等腰三角形的轴对称性一节，我们最后通过直角三角形纸片折叠发现了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
（1）小聪同学画出了如图①所示的一个特殊的直角三角形，其中∠BAC为直角，AD为斜边BC上的中线，∠B=30°．它证明上面定理思路如下：延长AD至点E，使DE=AD，连结BE，再证△ABC≌△BAE，你认为小聪能否完成证明？能（只需要填“能”或“不能”）；
（2）小聪同学还想借助图②，任意的Rt△ABC为直角，AD为斜边BC上的中线，证明或推翻结论AD=$\frac{1}{2}$BC，请你帮助小聪同学完成；
（3）如图③，在△ABC中AD⊥BC，垂足为D，如果CD=1，AD=2，BD=4，求△ABC的中线AE的长度．

Answer 1

分析 （1）如图①所示．由三角形内角和定理可求得∠ACB=60°．然后证明△ACD≌△EBD，从而得到∠EBD=∠ACD=60°，BE=AC，∠ABE=90°然后再证明Rt△ABE≌Rt△BAC，于是得到BC=AE故此BC=2AD；
（2）如图②所示：延长AD至点E使DE=AD，连结BE，先证明△ACD≌△EBD，得到∠C=∠EBD，从而可证明∠BAC=∠ABE，然后证明△ABC≌△BAE，从而得到AE=BC，故此BC=AE=2AD；
（3）根据勾股定理得：AC²=5，AB²=20，于是可得到AC²+AB²=BC²．于是得到△ABC是直角三角形，根据结论可知△ABC的中线AE的长度=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$．

解答 解：（1）能．
理由：如图①所示．

∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，
∴∠ACB=60°．
在△ACD和△EBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DE}\\{∠ADC=∠EDB}\\{BD=CD}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△EBD．
∴∠EBD=∠ACD=60°，BE=AC．
∴∠ABE=90°．
在Rt△ABE和Rt△BAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AB}\\{BE=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△BAC．
∴BC=AE．
∴BC=2AD．
∴AD=$\frac{1}{2}$BC．
（2）证明：如图②所示：延长AD至点E使DE=AD，连结BE．

在△ACD和△EBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=ED}\\{∠ADC=∠EDB}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△EBD．
∴∠C=∠EBD
∴∠C+∠ABC=∠ABC+∠EBD，即∠BAC=∠ABE．
在△ABC和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AB}\\{∠ABE=∠BAC}\\{BE=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△BAE．
∴AE=BC．
∴BC=AE=2AD
∴$AD=\frac{1}{2}BC$．
（3）∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°．
∵CD=1，AD=2，BD=4，
∴根据勾股定理得：AC²=$\sqrt{C{D}^{2}+A{D}^{2}}$=5，AB²=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=20．
∵AC²=5，AB²=20，BC²=（1+4）²=25，
∴AC²+AB²=BC²．
∴△ABC是直角三角形． 
∴△ABC的中线AE的长度=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定的应用、勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，根据△ACD≌△EBD、△ABC≌△BAE是解题的关键．