Question

5．如图，在⊙O中，弦AB=CD，E、F分别为AB、CD的中点，求证：∠AEF=∠CFE．

Answer 1

分析 利用同圆或等圆中相等的弦所对的弧、弦心距相等可得EO=FO，进而得到∠OEF=∠OFE，从而可得∠AEO-∠FEO=∠CFO-∠OFE，进而得到∠AEF=∠CFE；

解答 证明：连接OE，OF，
∵点E、F是AB、CD的中点，
∴EO⊥AB，FO⊥CD，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
∵OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，
∴OE和OF是圆的两条弦的弦心距，
∵AB，CD是⊙O的两条弦，AB=CD，
∴EO=FO，
∴∠OEF=∠OFE，
∵OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
∴90°+∠FEO=90°+∠OFE，
即：∠AEF=∠CFE．

点评 本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是正确的将证明弦心距转化为证明两弦相等．