Question

17．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax²+bx+c=0的两个根；
（2）写出不等式ax²+bx+c＞0的解集；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax²+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据图象可知x=1和3是方程的两根；
（2）找出函数值大于0时x的取值范围即可；
（3）首先找出对称轴，然后根据图象写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax²+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k必须小于y=ax²+bx+c（a≠0）的最大值，据此求出k的取值范围．

解答 解：（1）由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点，则方程ax²+bx+c=0的两个根为1和3；
（2）由图象可知当1＜x＜3时，不等式ax²+bx+c＞0；
（3）由图象可知，y=ax²+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为x=2，开口向下，
即当x＞2时，y随x的增大而减小；
（4）由图象可知，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的最大值为2，
若方程ax²+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k必须小于y=ax²+bx+c（a≠0）的最大值，
则k＜2．

点评 本题主要考查了二次函数与不等式以及抛物线与x轴的交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及图象的特点，此题难度不大．