Question

【题目】如图，两条直线AB、CD相交于点O，且∠AOC=90°，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两条射线OM、ON同时运动，运动时间为t秒．（本题出现的角均小于平角）

（1）当t=2时，∠MON的度数为 ，∠BON的度数为 ；∠MOC的度数为

（2）当0＜t＜12时，若∠AOM=3∠AON-60°，试求出t的值；

（3）当0＜t＜6时，探究的值，问：t满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定值？

Answer 1

【答案】（1）144°，114°，60°；（2）t的值为秒或10秒；（3）当0＜t＜时，的值不是定值；当＜t＜6时，的值是3．

【解析】

（1）根据时间和速度分别计算∠BOM和∠DON的度数，再根据角的和与差可得结论；

（2）分两种情况：①如图所示，当0＜t≤7.5时，②如图所示，当7.5＜t＜12时，分别根据已知条件列等式可得t的值；

（3）分两种情况，分别计算∠COM、∠BON和∠MON的度数，代入可得结论．

（1）由题意得：∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=2×15°+90°+2×12°=144°，

∠BON=∠BOD+∠DON=90°+24°=114°，

∠MOC=∠BOC-∠BOM=90°-2×15°=60°，

故答案为：144°，114°，60°；

（2）当ON与OA重合时，t=90÷12=7.5（s）

当OM与OA重合时，t=180°÷15=12（s）

①如图所示，当0＜t≤7.5时，∠AON=90°-12t°，∠AOM=180°-15t°

由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（90-12t）-60，

解得t=，

②如图所示，当7.5＜t＜12时，∠AON=12t°-90°，∠AOM=180°-15t°，

由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（12t-90）-60，解得t=10，

综上，t的值为秒或10秒；

（3）当∠MON=180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，

∴15t+90+12t=180，解得t=，

①如图所示，当0＜t＜时，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，

∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°，

∴（不是定值），

②如图所示，当＜t＜6时，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，

∠MON=360°-（∠BOM+∠BOD+∠DN）=360°-（15t°+90°+12t°）=270°-27t°，

∴=3（定值），

综上所述，当0＜t＜时，的值不是定值；当＜t＜6时，的值是3．