Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，连结DE、DF、EF，且保持DF⊥EF，在此运动变化的过程中，当△ADF与△BEF的面积为1：2，则DE的长为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：如图，作辅助线；证明△ADF≌△CEF；证明CE：BE=1：2；证明CE=2；AD=CE=2，CD=4；运用勾股定理，即可解决问题．

解答：解：如图，连接CF；
∵△ABC为等腰直角三角形，且点F为AB的中点，
∴AF=CF；∠AFC=90°，∠A=∠ECF=45°；
∵∠DFE=90°，
∴∠AFD=∠CFE；
在△ADF与△CEF中，

∠A=∠ECF AF=CF ∠AFD=∠CFE

，
∴△ADF≌△CEF（ASA），
∴S_△ADE=S_△CEF（设为λ），AD=CE；
设S_△BEF=μ；
∵△ADF与△BEF的面积为1：2，
∴λ：μ=1：2，CE：BE=λ：μ=1：2；
∵BC=AC=6，
∴CE=2；AD=CE=2，CD=4；
由勾股定理得：DE²=CD²+CE²，
∴DE=2

5

，
故答案为2

5

．

点评：该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质的应用等知识点问题；解题的关键是牢固掌握全等三角形的判定等几何知识点，灵活解决问题．