Question

已知一个三角形纸片的两边长是5和6，第三边的长是方程x²-6x+5=0的一个根，若用此三角形纸片剪出一个圆，则剪出的圆的半径最大是

 

．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心,解一元二次方程-因式分解法,三角形三边关系

专题：计算题

分析：先解方程得到x₁=1，x₂=5，再根据三角形三边的关系得到三角形第三边为5，如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为r，作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得到BD=CD=3，AD平分∠BAD，根据内心的定义得到点O在AD上，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，则OD=OE=OF=r，在Rt△ABD中，根据勾股定理得AD=4，然后利用面积法得到

1

2

•4•6=

1

2

•5•r+

1

2

•6•r+

1

2

•5•r，解得r=

3

2

，由于三角形的内切圆为三角形内最大的圆，所以此三角形纸片剪出的圆的半径最大值为

3

2

．

解答：解：x²-6x+5=0，
（x-1）（x-5）=0，
解得x₁=1，x₂=5，
∵三角形纸片的两边长是5和6，
∴三角形第三边为5，
如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为r，
作AD⊥BC于D，
则BD=CD=3，AD平分∠BAD，
∴点O在AD上，
作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，则OD=OE=OF=r，
在Rt△ABD中，AD=

AB2-BD2

=4，
∵S_△ABC=S_△OAB+S_△OBC+S_△OAC，
∴

1

2

•4•6=

1

2

•5•r+

1

2

•6•r+

1

2

•5•r，解得r=

3

2

，
∴此三角形纸片剪出的圆的半径最大值为

3

2

．
故答案为

3

2

．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．也考查了三角形三边的关系．也考查了等腰三角形的性质．