Question

2．等边△ABC中，AO是BC边上的高，D为AO上一点，以CD为一边，在CD下方作等边△CDE，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）过点C作CH⊥BE，交BE的延长线于H，若BC=8，求CH的长．

Answer 1

分析 （1）先根据等边三角形的性质得出∠ACB=60°，∠DCE=60°，故可得出∠ACD=∠BCE，再由SAS定理即可得出结论；
（2）先由等边三角形三线合一的性质得出∠CAD的度数，再由△ACD≌△BCE得出∠CAD=∠CBE，再根据直角三角形的性质即可得出结论．

解答 （1）证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠BCD=∠ACB=60°，∠BCE+∠BCD=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}AC=BC\\∠ACD=∠BCE\\ CD=CE\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）解：∵△ABC是等边三角形，AO是BC边上的高，
∴∠BAC=60°，且AO平分∠BAC，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠CBE=30°．
又∵CH⊥BE，BC=8，
∴在Rt△BCH中，CH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4，即CH=4．

点评 本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知等边三角形三线合一的性质、直角三角形的性质等知识是解答此题的关键．