Question

【题目】如图，CD为⊙O的直径，弦AB垂直于CD，垂足为H，∠EAD＝∠HAD．

（1）求证：AE为⊙O的切线；

（2）延长AE与CD的延长线交于点P，过D 作DE⊥AP，垂足为E，已知PA＝2，PD＝1，求⊙O的半径和DE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）1.5，DE＝

【解析】

（1）连接OA，根据垂线的定义结合角的计算，即可得出∠EAD+∠OAD＝90°，从而得出OA⊥AE，再由点A在圆上，即可证出AE为⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为x，在Rt△AOP中，利用勾股定理可求出x的值，再由DE⊥AP，得出OA∥DE，进而可得出△PED∽△PAO，根据相似三角形的性质即可求出DE的长度．

（1）证明：连结OA，如图所示．

∵AB⊥CD，

∴∠AHD＝90°，

∴∠HAD+∠ODA＝90°．

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA．

又∵∠EAD＝∠HAD，

∴∠EAD+∠OAD＝90°，

∴OA⊥AE．

又∵点A在圆上，

∵AE为⊙O的切线．

（2）解：设⊙O的半径为x，在Rt△AOP中，

OA2+AP2＝OP2，即x2+22＝（x+1）2，

解得：x＝1.5，

∴⊙O的半径为1.5．

∵DE⊥AP，OA⊥AP，

∴OA∥DE，

∴△PED∽△PAO，

∴，即 ，

解得：DE＝．