【题目】已知,如图抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点A在点B左侧.点B的坐标为(2,0).OC=3OB.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P是线段AC下方抛物线上的动点,求三角形PAC面积的最大值.
(3)在(2)的条件下,△PAC的面积为S,其中S为整数的点P作“好点”,则存在多个“好点”,则所有“好点”的个数为
(4)在(2)的条件下,以PA为边向直线AC右上侧作正方形APHG,随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变,当顶点H或G恰好落在y轴上时,直接写出对应的点P的坐标.
【答案】(1)抛物线的表达式为:y=x2+x﹣6;
(2)当x=﹣时,S的最大值为:;
(3)4;
(4)点P的坐标为:(,﹣5)或(,).
【解析】
(1)先确定点C的坐标,再利用待定系数法求解;
(2)先求出直线AC的解析式,再过点P作y轴的平行线交AC于点H,设点P的横坐标为x,由于△PAC面积S=PH×OA,且OA易求,只需用含x的代数式表示出PH的长即可利用二次函数的性质求出结果;
(3)根据(2)题的关系式并结合x的范围逐一验证S是否为整数即得答案;
(4)分点G在y轴上和点H在y轴上两种情况,利用正方形的性质构造全等三角形分别求解即可.
解:(1)OC=3OB=6,故点B、C的坐标分别为:(2,0)、(0,﹣6),则抛物线为y=ax2+3ax﹣6,
将点B的坐标代入上式得:0=4a+6a﹣6,解得:a=,
故抛物线的表达式为:y=x2+x﹣6;
(2)y=x2+x﹣6,令y=0,则x=﹣5或2,故点A(﹣5,0),
将点A、C的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b并解得:直线AC的解析式为:y=﹣ x﹣6,
过点P作y轴的平行线交AC于点H,
设点P(x,x2+x﹣6),点H(x,﹣x﹣6),
△PAC面积S=PH×OA==﹣x2﹣x,
∵﹣<0,故S有最大值, 当x=﹣时,S的最大值为:;
(3)△PAC面积S=﹣x2﹣x,因为点P是线段AC下方抛物线上的点,所以-5<x<0,
当x=﹣4时,S=6;当x=﹣3时,s=9;当x=﹣2时,S=9;当x=﹣1时,s=6;
所以“好点”的个数为4,
故答案为4;
(4)如图2左侧图,
①当点G在y轴上时,作PR⊥x轴于点R,
∵∠GAO+∠PAO=90°,∠PAO+∠APR=90°,
∴∠APR=∠GAO,
∵∠AOG=∠PRA=90°,AP=AG,
∴△AOG≌△PRA(AAS),
∴OA=PR=5,
故点P的纵坐标为:﹣5,
则y=x2+x﹣6=﹣5,解得:x=(不合题意的值已舍去),
故点P(,﹣5);
②当点H在y轴上时,图2右侧图,同理可得:点P(,);
综上,点P的坐标为:(,﹣5)或(,)
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:①b<2a;②a+2c﹣b>0;③b>a>c;④b2+2ac<3ab.其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】某商店分两次购进、两种商品进行销售,两次购进同一种商品的进价相同,具体情况如下表所示:
购进数量(件) | 购进所需费用 (元) | ||
A | B | ||
第一次 | 20 | 50 | 4100 |
第二次 | 30 | 40 | 3700 |
(1)求、两种商品每件的进价分别是多少元?
(2)商场决定商品以每件50元出售,商品以每件元出售.为满足市场需求,需购进、两种商品共件,且商品的数量不少于商品数量的倍,请你求出获利最大的进货方案,并确定最大利润.
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【题目】如图,二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点,与x轴交于点A(﹣4,0).
(1)求二次函数的解析式;
(2)在抛物线上存在点P,满足S△AOP=8,请直接写出点P的坐标.
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【题目】如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O.将∠COB绕点O顺时针旋转,设旋转角为α(0<α<90°),角的两边分别与BC,AB交于点M,N,连接DM,CN,MN,下列四个结论:①∠CDM=∠COM;②CN⊥DM;③△CNB≌△DMC;④AN2+CM2=MN2;其中正确结论的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+8与x轴相交于点A(﹣2,0)和点B(4,0),与y轴相交于点C,顶点为点P.点D(0,4)在OC上,联结BC、BD.
(1)求抛物线的表达式并直接写出点P的坐标;
(2)点E为第一象限内抛物线上一点,如果△COE与△BCD的面积相等,求点E的坐标;
(3)点Q在抛物线对称轴上,如果△BCD∽△CPQ,求点Q的坐标.
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