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【题目】已知,如图抛物线yax2+3ax+ca0)与y轴交于点C,与x轴交于AB两点,点A在点B左侧.点B的坐标为(20).OC3OB

1)求抛物线的解析式;

2)若点P是线段AC下方抛物线上的动点,求三角形PAC面积的最大值.

3)在(2)的条件下,△PAC的面积为S,其中S为整数的点P好点,则存在多个好点,则所有好点的个数为   

4)在(2)的条件下,以PA为边向直线AC右上侧作正方形APHG,随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变,当顶点HG恰好落在y轴上时,直接写出对应的点P的坐标.

【答案】1)抛物线的表达式为:yx2+x6

2)当x=﹣时,S的最大值为:

34

4)点P的坐标为:(,﹣5)或().

【解析】

1)先确定点C的坐标,再利用待定系数法求解;

2)先求出直线AC的解析式,再过点Py轴的平行线交AC于点H,设点P的横坐标为x,由于PAC面积SPH×OA,且OA易求,只需用含x的代数式表示出PH的长即可利用二次函数的性质求出结果;

3)根据(2)题的关系式并结合x的范围逐一验证S是否为整数即得答案;

4)分点Gy轴上和点Hy轴上两种情况,利用正方形的性质构造全等三角形分别求解即可.

解:(1OC3OB6,故点BC的坐标分别为:(20)、(0,﹣6),则抛物线为yax2+3ax6

将点B的坐标代入上式得:04a+6a6,解得:a

故抛物线的表达式为:yx2+x6

2yx2+x6,令y0,则x=﹣52,故点A(﹣50),

将点AC的坐标代入一次函数表达式:ykx+b并解得:直线AC的解析式为:y=﹣ x6

过点Py轴的平行线交AC于点H

设点Pxx2+x6),点Hx,﹣x6),

PAC面积SPH×OA=﹣x2x

∵﹣<0,故S有最大值, 当x=﹣时,S的最大值为:

3PAC面积S=﹣x2x,因为点P是线段AC下方抛物线上的点,所以-5<x<0

x=﹣4时,S6;当x=﹣3时,s9;当x=﹣2时,S=9;当x=﹣1时,s6

所以“好点”的个数为4

故答案为4

4)如图2左侧图,

当点Gy轴上时,作PRx轴于点R

∵∠GAO+PAO90°,∠PAO+APR90°

∴∠APR=∠GAO

∵∠AOG=∠PRA90°APAG

∴△AOG≌△PRAAAS),

OAPR5

故点P的纵坐标为:﹣5

yx2+x6=﹣5,解得:x(不合题意的值已舍去),

故点P,﹣5);

②当点Hy轴上时,图2右侧图,同理可得:点P);

综上,点P的坐标为:(,﹣5)或(

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购进数量(件)

购进所需费用

(元)

A

B

第一次

20

50

4100

第二次

30

40

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A. 1B. 2C. 3D. 4

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