Question

【题目】阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如图1，在中，平分，．求证：

小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：

方法1：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题

方法二：如图3，延长到点，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题

（1）根据阅读材料，任选一种方法证明

（2）根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题：如图4，四边形中，是上一点，，，，探究、、之间的数量关系，并证明

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析

【解析】

（1）方法一，在上截取，使得，连接，用SAS定理证明，然后得到，，从而得到，然后利用等角对等边求证，使问题得解；

方法二，延长到点，使得，连接，利用三角形外角的性质得到∠ABC=2∠E，从而得到∠E=∠C，利用AAS定理证明△AED≌△ACD，从而求解；

（2）在上截取，使得，连接，利用三角形外角的性质求得，从而得到，利用SAS定理证明，然后利用全等三角形的性质求解．

解：（1）方法一：如图2，在上截取，使得，连接，

∵平分，

∴

又∵，

∴

∴，

∵

∴

∴

∴

∴

方法二：如图3，延长到点，使得，连接，

∵平分，

∴

∵

∴∠ABC=2∠E

又∵

∴∠E=∠C

∵AD=AD

∴△AED≌△ACD

∴AC=AE=AB+BE=AB+BD

（2）在上截取，使得，连接

∵

∴

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∴,

∵

∴

∴

∴

∴．