Question

如图，AB是⊙O的直径，∠ABC的平分线BD交⊙O于D，过点D作DE⊥BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=10．BD=8，求线段EC的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）利用角平分线的定义结合等腰三角形的性质得出∠ODB=∠DBE，进而得出∠ODE=90°，即可得出答案；
（2）首先利用△ABD∽△EBD，则

AB

BD

=

BD

BE

=

AD

DE

，进而得出BE，DE的长，再利用切割线定理得出答案．

解答：（1）证明：连接OD，
∵∠ABC的平分线BD交⊙O于D，
∴∠EBD=∠DBA，
∵DO=BO，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODB=∠DBE，
∴DO∥BE，
∵∠E=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠ABD=∠DBE，
∴△ABD∽△EBD，
∴

AB

BD

=

BD

BE

=

AD

DE

，
∵AB=10，BD=8
∴AD=6，
∴

10

8

=

8

BE

=

6

DE

，
解得：BE=6.4，DE=4.8，
由切割线定理可得：DE²=EC×BE，
解得：EC=3.6．

点评：此题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，得出△ABD∽△EBD是解题关键．