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【题目】如图所示,梯形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°,AD=15,AB=16,BC=12,点E是边AB上的动点,点F是射线CD上一点,射线ED和射线AF交于点G,且∠AGE=∠DAB.
(1)求线段CD的长;
(2)如果△AEC是以EG为腰的等腰三角形,求线段AE的长;
(3)如果点F在边CD上(不与点C、D重合),设AE=x,DF=y,求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围.

【答案】
(1)

解:(1)作DH⊥AB于H,如图1,

易得四边形BCDH为矩形,

∴DH=BC=12,CD=BH,

在Rt△ADH中,AH=

∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7,

∴CD=7;


(2)

当EA=EG时,则∠AGE=∠GAE,

∵∠AGE=∠DAB,

∴∠GAE=∠DAB,

∴G点与D点重合,即ED=EA,

作EM⊥AD于M,如图1,则AM= AD=

∵∠MAE=∠HAD,

∴Rt△AME∽Rt△AHD,

∴AE:AD=AM:AH,即AE:15= :9,解得AE=

当GA=GE时,则∠AGE=∠AEG,

∵∠AGE=∠DAB,

而∠AGE=∠ADG+∠DAG,∠DAB=∠GAE+∠DAG,

∴∠GAE=∠ADG,

∴∠AEG=∠ADG,

∴AE=AD=15,

综上所述,△AEC是以EG为腰的等腰三角形时,线段AE的长为 或15;


(3)

作DH⊥AB于H,如图2,则AH=9,HE=AE﹣AH=x﹣9,

在Rt△ADE中,DE= =

∵∠AGE=∠DAB,∠AEG=∠DEA,

∴△EAG∽△EDA,

∴EG:AE=AE:ED,即EG:x=x:

∴EG=

∴DG=DE﹣EG=

∵DF∥AE,

∴△DGF∽△EGA,

∴DF:AE=DG:EG,即y:x=( ):

∴y= (9<x< ).


【解析】(1)作DH⊥AB于H,如图1,易得四边形BCDH为矩形,则DH=BC=12,CD=BH,再利用勾股定理计算出AH,从而得到BH和CD的长; (2)分类讨论:当EA=EG时,则∠AGE=∠GAE,则判断G点与D点重合,即ED=EA,作EM⊥AD于M,如图1,则AM= AD= ,通过证明Rt△AME∽Rt△AHD,利用相似比可计算出此时的AE长;当GA=GE时,则∠AGE=∠AEG,可证明AE=AD=15,(3)作DH⊥AB于H,如图2,则AH=9,HE=AE﹣AH=x﹣9,先利用勾股定理表示出DE= ,再证明△EAG∽△EDA,则利用相似比可表示出EG= ,则可表示出DG,然后证明△DGF∽△EGA,于是利用相似比可表示出x和y的关系.

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