Question

如图，C为AE上一点，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BC交于点P，BE与CD交于Q，连接PQ．求证：∠AOB=60°．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：证明题

分析：由三角形ABC与三角形DCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=CE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACD与三角形BCE全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ADC=∠BEC，利用外角性质即可得证．

解答：证明：∵△ABC和△DCE都为等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=CE，
∴∠AC+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SASD），
∴∠ADC=∠BEC，
∵∠AOB为△AOE的外角，∠DCE为△ACD的外角，
∴∠DCE=∠CAD+∠ADC=60°，
则∠AOB=∠CAD+∠BEC=∠CAD+∠ADC=60°．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．