Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B，其对称轴为x=3．

（1）求直线AB的解析式；

（2）过点O作直线l，使l∥AB，点P是l上一动点，设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+6；（2）﹣3≤t＜0或0＜t≤3；（3）存在．点Q的坐标为（3，3）或（6，0）或（﹣3，﹣9）．

【解析】

（1）利用抛物线的对称性得到点B坐标为（6，0），再把B点坐标代入y=ax2+2x中求出a得到抛物线解析式；接着把一般式配成顶点式得到A点坐标，然后利用待定系数法求直线AB的解析式；
（2）易得直线解析式为y=-x，则可设P点坐标为（t，-t），讨论：当点P在第四象限时（t＞0），利用三角形面积公式可得到S=S△AOB+S△POB=9+3t，再利用S的范围可得到t的范围；当点P在第二象限时（t＜0），作PM⊥x轴于M，设对称轴与x轴交点为N．如图，利用S=S梯形PANM+S△ANB-S△PMO得到S=[3+（-t）]（3-t）+33-（-t）（-t），然后利用S的范围确定对应t的范围；
（3）依题意得到t=3，则P（3，-3），讨论：当直角顶点为点O时，OP⊥OQ，易得直线OQ的解析式为y=x，则解方程组

得此时点Q的坐标；当直角顶点为点P时，过点P作直线的垂线交抛物线于点Q，则可设直线PQ的解析式为y=x+b，接着把P（3，-3）代入求出b得到直线PQ的解析式为y=x-6，然后解方程组得此时Q点坐标．

解：（1）∵点B与O（0，0）关于x=3对称，

∴点B坐标为（6，0），

把B（6，0）代入y=ax2+2x得36a+12=0，解得a=﹣ ，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x；

∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣3）2+3，

∴顶点A的坐标为（3，3），

设直线AB解析式为y=kx+b．

把A（3，3），B（6，0）代入得 ，解得 ，

∴直线AB的解析式为y=﹣x+6；

（2）∵直线∥AB且过点O，

∴直线解析式为y=﹣x，

设P点坐标为（t，﹣t），

当点P在第四象限时（t＞0），

S=S△AOB+S△POB=63+6|﹣t|=9+3t，

∵0＜S≤18，

∴0＜9+3t≤18，解得﹣3＜t≤3．

又t＞0，

∴0＜t≤3；

当点P在第二象限时（t＜0），

作PM⊥x轴于M，设对称轴与x轴交点为N．如图，

S=S梯形PANM+S△ANB﹣S△PMO [3+（﹣t）]（3﹣t）+33﹣（﹣t）（﹣t）

=﹣3t+9，

∵0＜S≤18，

∴0＜﹣3+9≤18，解得﹣3≤t＜3．

又t＜0，

∴﹣3≤t＜0；

综上所述，t的取值范围是﹣3≤t＜0或0＜t≤3；

（3）存在．

依题意可知，t=3，则P（3，﹣3）

当直角顶点为点O时，OP⊥OQ，

∴直线OQ的解析式为y=x，

解方程组得 或 ，此时点Q的坐标为（3，3）；

当直角顶点为点P时，过点P作直线的垂线交抛物线于点Q，

设直线PQ的解析式为y=x+b，

把P（3，﹣3）代入得b=﹣6，

∴直线PQ的解析式为y=x﹣6，

解方程组得 或 ，此时Q点坐标为（6，0）或（﹣3，﹣9），

综上所述，点Q的坐标为（3，3）或（6，0）或（﹣3，﹣9）．