【题目】如图1,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=6,AD=10,点P在边AD上运动,以P为圆心,PA为半径的⊙P与对角线AC交于A,E两点.不难发现,随着AP的变化,⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化.如图2,当⊙P与边CD相切时,⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点.若公共点的个数为4,则相对应的AP的取值范围为_____.
【答案】<AP<或AP=5.
【解析】
在Rt△ABC中,直接由勾股定理可求出AC,连接PF,则PF⊥CD,由AB⊥AC和四边形ABCD是平行四边形,得PF∥AC,可证明△DPF∽△DAC,列比例式可得AP的长,有两种情况:①与边AD、CD分别有两个公共点;②⊙P过点A、C、D三点,可分别写出结论.
解:∵平行四边形ABCD中,AB=6,AD=10,
∴BC=AD=10,
∵AB⊥AC,
∴在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC===8,
如图2所示,连接PF,
设AP=x,则DP=10﹣x,PF=x,
∵⊙P与边CD相切于点F,
∴PF⊥CD,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∵AB⊥AC,
∴AC⊥CD,
∴AC∥PF,
∴△DPF∽△DAC,
∴,
∴,
∴x=,
即AP=;
当⊙P与BC相切时,设切点为G,如图3,
∴SABCD=×6×8×2=10PG,
∴PG=,
①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时,<AP<,即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4;
②⊙P过点A、C、D三点,如图4,⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4,此时AP=5,
综上所述,AP的值的取值范围是:<AP<或AP=5,
故答案为:<AP<或AP=5.
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【题目】已知,如图,抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)的顶点为M (1,9), 经过抛物线上的两点A(-3,-7)和B (3, m)的直线交抛物线的对称轴于点C.
(1)求抛物线的解析式和直线AB的解析式;
(2)在抛物线上是否存在点D,使得S△DAC=2S△DCM?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若点P在抛物线上,点Q在x轴上,当以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出满足足条件的点P的坐标.
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【题目】如图,已知A(-4,0)、B(0,3),一次函数与坐标轴分别交于C、D两点,G为CD上一点,且DG:CG=1:2,连接BG,当BG平分∠ABO时,则b的值为____.
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【题目】如图,射线AM上有一点B,AB=6.点C是射线AM上异于B的一点,过C作CD⊥AM,且CD=AC.过D点作DE⊥AD,交射线AM于E. 在射线CD取点F,使得CF=CB,连接AF并延长,交DE于点G.设AC=3x.
(1) 当C在B点右侧时,求AD、DF的长.(用关于x的代数式表示)
(2)当x为何值时,△AFD是等腰三角形.
(3)若将△DFG沿FG翻折,恰使点D对应点落在射线AM上,连接,.此时x的值为 (直接写出答案)
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,将对角线AC绕对角线交点O旋转,分别交边AD、BC于点E、F,点P是边DC上的一个动点,且保持DP=AE,连接PE、PF,设AE=x(0<x<3).
(1)填空:PC= ,FC= ;(用含x的代数式表示)
(2)求△PEF面积的最小值;
(3)在运动过程中,PE⊥PF是否成立?若成立,求出x的值;若不成立,请说明理由.
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【题目】在△ABC中,∠BAC=90°,AB=2AC,点A(2,0)、B(0,4),点C在第一象限内,双曲线y=(x>0)经过点C.将△ABC沿y轴向上平移m个单位长度,使点A恰好落在双曲线上,则m的值为________.
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【题目】在一个不透明的布袋中装有标着数字2,3,4,5的4个小球,这4个小球的材质、大小和形状完全相同,现从中随机摸出两个小球,这两个小球上的数字之积大于9的概率为( )
A.B.C.D.
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【题目】某市居民用水实行以户为单位的三级阶梯收费办法:
第一级:居民每户每月用水吨以内含吨,每吨收水费元;
第二级:居民每户每月用水超过吨但不超过吨,未超过的部分按照第一级标准收费,超过部分每吨收水费元;
第三级:居民每户每月用水超过吨,未超过吨的部分按照第一、二级标准收费,超过部分每吨收水费元;
设一户居民月用水吨,应缴水费元,与之间的函数关系如图所示,
(Ⅰ)根据图象直接作答:___________,_______________,_______________;
(Ⅱ)求当时,与之间的函数关系式;
(Ⅲ)把上述水费阶梯收费办法称为方案①,假设还存在方案②;居民每户月用水一律按照每吨元的标准缴费.当居民用户月用水超过吨时,请你根据居民每户月用水量的大小设计出对居民缴费最实惠的方案.
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