Question

【题目】如图，在中，于点，过点作与边相切于点，交于点为的直径．

（1）求证：；

（2）若，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据圆的切线的性质得出CE⊥AB，然后进一步利用AB=AC和AD⊥BC证明得BD=DC，从而根据三角形中位线性质得知OD∥EB，由此即可证明结论；

（2）连接EF，首先根据题意得出∠BEF+∠FEC=∠FEC+∠ECF=90°，由此求出∠ECF=∠BEF，再者利用三角函数得出，从而求出EF，再利用勾股定理求得BE，最后利用平行线分线段成比例的性质进一步求解即可.

（1）∵与边AB相切于点E，且CE为的直径，

∴CE⊥AB，OE=OC，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=DC，

又∵OE=OC，

∴OD是△BCE的中位线，

∴OD∥EB，

∴OD⊥CE；

（2）如图，连接EF，

∵CE为的直径，且点F在上，

∴∠EFC=90°，

∵CE⊥AB，

∴∠BEC=90°，

∴∠BEF+∠FEC=∠FEC+∠ECF=90°，

∴∠ECF=∠BEF，

∴tan∠BEF=tan∠ECF，

∴，

又∵DF=1，BD=DC=3，

∴BF=2，FC=4，

∴，

∴EF=，

∵∠EFC=90°，

∴∠BFE=90°，

由勾股定理可得：BE=，

∵AD⊥BC且∠EFC=90°，

∴EF∥AD，

∴，

∴AE=.