Question

12．已知：x²-7x+1=0，求①x+$\frac{1}{x}$；②x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$；③$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$；④x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$的值．

Answer 1

分析 根据x²-7x+1=0，可以求得$x+\frac{1}{x}$的值，根据$x+\frac{1}{x}$的值，可以求得x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$的值，根据x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$的值可以求得③和④的值，本题得以解决．

解答 解：①∵x²-7x+1=0，
∴x-7+$\frac{1}{x}=0$，
∴x+$\frac{1}{x}=7$；
②∵$x+\frac{1}{x}=7$，
∴${x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}=（x+\frac{1}{x}）^{2}-2$=7²-2=49-2=47；
③∵${x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}=47$，
∴$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}=\frac{1}{{x}^{2}+1+\frac{1}{{x}^{2}}}$=$\frac{1}{47+1}=\frac{1}{48}$；
④∵${x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}=47$，
∴${x}^{4}+\frac{1}{{x}^{4}}=（{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}）^{2}-2=4{7}^{2}-2$=2207．

点评 本题考查分式的混合运算，解题的关键是明确分式混合运算的计算方法．