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【题目】已知四边形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,∠EAF的两边分别与射线CB,DC相交于点E,F,且∠EAF=60°.

(1)如图1,当点E是线段CB的中点时,直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系;
(2)如图2,当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B、C重合),求证:BE=CF;
(3)如图3,当点E在线段CB的延长线上,且∠EAB=15°时,求点F到BC的距离.

【答案】
(1)

解:结论AE=EF=AF.

理由:如图1中,连接AC,

∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°,

∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=60°,

∴△ABC,△ADC是等边三角形,

∴∠BAC=∠DAC=60°

∵BE=EC,

∴∠BAE=∠CAE=30°,AE⊥BC,

∵∠EAF=60°,

∴∠CAF=∠DAF=30°,

∴AF⊥CD,

∴AE=AF(菱形的高相等),

∴△AEF是等边三角形,

∴AE=EF=AF


(2)

证明:连接AC,如图2中,∵∠BAC=∠EAF=60°,

∴∠BAE=∠CAE,

在△BAE和△CAF中,

∴△BAE≌△CAF,

∴BE=CF


(3)

解:过点A作AG⊥BC于点G,过点F作FH⊥EC于点H,

∵∠EAB=15°,∠ABC=60°,

∴∠AEB=45°,

在RT△AGB中,∵∠ABC=60°,AB=4,

∴BG= AB=2,AG= BG=2

在RT△AEG中,∵∠AEG=∠EAG=45°,

∴AG=GE=2

∴EB=EG﹣BG=2 ﹣2,

∵△AEB≌△AFC,

∴AE=AF,EB=CF=2 ﹣2,

在RT△CHF中,∵∠HCF=180°﹣∠BCD=60°,CF=2 ﹣2,

∴FH=CFsin60°=(2 ﹣2) =3﹣

∴点F到BC的距离为3﹣


【解析】(1)结论AE=EF=AF.只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形.(2)欲证明BE=CF,只要证明△BAE≌△CAF即可.(3)过点A作AG⊥BC于点G,过点F作FH⊥EC于点H,根据FH=CFcos30°,因为CF=BE,只要求出BE即可解决问题.

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