【题目】已知四边形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,∠EAF的两边分别与射线CB,DC相交于点E,F,且∠EAF=60°.
(1)如图1,当点E是线段CB的中点时,直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系;
(2)如图2,当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B、C重合),求证:BE=CF;
(3)如图3,当点E在线段CB的延长线上,且∠EAB=15°时,求点F到BC的距离.
【答案】
(1)
解:结论AE=EF=AF.
理由:如图1中,连接AC,
∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=60°,
∴△ABC,△ADC是等边三角形,
∴∠BAC=∠DAC=60°
∵BE=EC,
∴∠BAE=∠CAE=30°,AE⊥BC,
∵∠EAF=60°,
∴∠CAF=∠DAF=30°,
∴AF⊥CD,
∴AE=AF(菱形的高相等),
∴△AEF是等边三角形,
∴AE=EF=AF
(2)
证明:连接AC,如图2中,∵∠BAC=∠EAF=60°,
∴∠BAE=∠CAE,
在△BAE和△CAF中,
,
∴△BAE≌△CAF,
∴BE=CF
(3)
解:过点A作AG⊥BC于点G,过点F作FH⊥EC于点H,
∵∠EAB=15°,∠ABC=60°,
∴∠AEB=45°,
在RT△AGB中,∵∠ABC=60°,AB=4,
∴BG= AB=2,AG= BG=2 ,
在RT△AEG中,∵∠AEG=∠EAG=45°,
∴AG=GE=2 ,
∴EB=EG﹣BG=2 ﹣2,
∵△AEB≌△AFC,
∴AE=AF,EB=CF=2 ﹣2,
在RT△CHF中,∵∠HCF=180°﹣∠BCD=60°,CF=2 ﹣2,
∴FH=CFsin60°=(2 ﹣2) =3﹣ .
∴点F到BC的距离为3﹣ .
【解析】(1)结论AE=EF=AF.只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形.(2)欲证明BE=CF,只要证明△BAE≌△CAF即可.(3)过点A作AG⊥BC于点G,过点F作FH⊥EC于点H,根据FH=CFcos30°,因为CF=BE,只要求出BE即可解决问题.
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【题目】根据图1的程序,得到了y与x的函数图象,如图2,若点M是y轴正半轴上任意一点,过点M作PQ∥x轴交图象于点P,Q,连接OP,OQ,则下列结论:①x<0时,y= ;②△OPQ的面积为定值;③x>0时,y随x的增大而增大;④MQ=2PM;⑤∠POQ可以等于90°.其中正确的有( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
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【题目】如图,Rt△ABO的顶点O在坐标原点,点B在x轴上,∠ABO=90°,∠AOB=30°,OB=2 ,反比例函数y= (x>0)的图象经过OA的中点C,交AB于点D.
(1)求反比例函数的关系式;
(2)连接CD,求四边形CDBO的面积.
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【题目】如图,在△ABC中,D为AC上一点,且CD=CB,以BC为直径作⊙O,交BD于点E,连接CE,过D作DF⊥AB于点F,∠BCD=2∠ABD.
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若∠A=60°,DF= ,求⊙O的直径BC的长.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,AD=2 ,把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP,连接AP并延长交CD于点E,连接PC,则三角形PCE的面积为 .
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2﹣5ax+4a与x轴交于A、B(A点在B点的左侧)与y轴交于点C.
(1)如图1,连接AC、BC,若△ABC的面积为3时,求抛物线的解析式;
(2)如图2,点P为第四象限抛物线上一点,连接PC,若∠BCP=2∠ABC时,求点P的横坐标;
(3)如图3,在(2)的条件下,点F在AP上,过点P作PH⊥x轴于H点,点K在PH的延长线上,AK=KF,∠KAH=∠FKH,PF=﹣4 a,连接KB并延长交抛物线于点Q,求PQ的长.
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【题目】某商店购买一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半月内可以售出400件.据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高一元,销售量相应减少20件.如何提高销售价,才能在半月内获得最大利润?
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