Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线相交于点。

（1）求点的坐标；

（2）点是内部一点，连接，求的最小值；

（3）将点向下平移一个单位得到点，连接，将绕点旋转至的位置，使轴，再将沿轴上下平移得到，在平移过程中，直线与轴交于点，在直线上任取一点，连接，，能否以为直线边构成等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不能，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）T1，T2（），T3（）

【解析】

（1）列方程组求两个一次函数的交点坐标；（2）将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，连接BE，PD，则线段BE即为PA+PB+PC最小值的线段；(3)分四种情形：①当O1K=KT时，且O1在x轴下方，②当O1K=O1T时，且O1在x轴下方，③当O1K=KT时，且O1在x轴上方，④当O1K=O1T时，且O1在x轴上方，逐个进行计算即可．

解：（1）由题意可得：

解得：

∴点A的坐标为

（2）如图2，将△APC绕点顺时针旋转60°得到△EDC，连接BE，PD．

在中

当x=0时，y=4

当y=0时，

∴

∴∠ACB=30°

由旋转的性质可知：△PCD是等边三角形，

∴PC=PD，

∵PA=DE，

∴PA+PB+PC=DE+PB+PD，

∵DE+PB+PD≥BE，

∴当P，D在直线BE上时，PA+PB+PC的值最小，

∵在中

当y=0时，

∴BC=CE=，∠BCE=90°，

∵EB⊥BC，

∴BE=BC=，

∴PA+PB+PC的最小值为．

（3）①当O1K=KT时，且O1在x轴下方，如图，则M（）

由题意可知：OB=OB1=，OD=2，OD1=3

∴

∴∠OKO1=30°

∵是等腰直角三角形

∴易证：△KTM≌△O1OK

∴OK=MT

设MT=t，则KM=

∴

解得：

∴T点坐标为（）

②当O1K=O1T时，且O1在x轴下方，如图，作TN⊥y轴于N，

∵∠KON=∠TNO=∠TO1K=90°，

∴∠OO1K+∠O1KO=∠OO1K+∠TO1N=90°

∴∠O1KO=∠TO1N

∵O1K=O1T

∴△O1KO≌△TO1N（AAS）

∴OO1=TN=

∵∠OKO1=30°

即：

∴O1N=OK=9

∴ON=

∴T2（），

③当O1K=KT时，且O1在x轴上方，方法同①，此时，点T不存在；

④当O1K=O1T时，且O1在x轴上方，方法同②，可求得T3（）；

综上所述，使△O1KT成为以O1K为直角边的等腰直角三角形的点T的坐标为：T1，T2（），T3（）