【题目】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.
(1)当t为何值时,DF=DA?
(2)当t为何值时,△ADE为直角三角形?请说明理由.
(3)是否存在某一时刻t,使点F在线段AC的中垂线上,若存在,请求出t值,若不存在,请说明理由.
(4)请用含有t式子表示△DEF的面积,并判断是否存在某一时刻t,使△DEF的面积是△ABC面积的,若存在,请求出t值,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)10;(2)t= 或12,理由见解析;(3) t=10,理由见解析;(4)
【解析】
(1) 由已知条件可得Rt△CDF中∠C=30°,即可知DF=CD=AE=2t,列方程求解即可;
(2)分两种情况讨论即可求解;
(3)假设存在,再根据垂直平分线的性质求解即可;
(4)利用两个三角形的面积关系求解即可.
(1)证明:由题意得:AE=2t,CD=4t,
∵DF⊥BC∴∠CFD=90°,
∵∠C=90°-60°=30°,
∴DF=CD=2t,
同理:AB=AC=30cm
若:DF=DA,则:2t=60-4t,
解得: t=10;
(2) 当∠AED=90°时,DE∥BC.
∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE 即60-4t=4t,
解得:t=
当∠ADE=90°时,
∵∠A=60°, ∴∠DEA=30°,
∴AD=AE
∴60-4t=t 解得t=12.
(3)连接AF,
若存在,则CF=AF,
∴∠C=∠CAF=30°
∴∠AFB=60°
∴∠FAB=30°
RT△DCF中,有勾股定理得:CF=
同理:BC=
∴FB=AF==
解得:t=10.
(4)
∴
∴
若存在,则
解得
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【题目】小敏的爸爸买了某项体育比赛的一张门票,她和哥哥两人都很想去观看.可门票只有一张,读九年级的哥哥想了一个办法,拿了8张扑克牌,将数字为2,3,5,9的四张牌给小敏,将数字为4,6,7,8的四张牌留给自己,并按如下游戏规则进行:小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张,然后将两人抽出的两张扑克牌数字相加,如果和为偶数,则小敏去;如果和为奇数,则哥哥去.
【1】请用画树形图或列表的方法求小敏去看比赛的概率;
【2】哥哥设计的游戏规则公平吗?若公平,请说明理由;若不公平,请你设计一种公平的游戏规则.
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【题目】已知:如图,AB为⊙O的直径,C是BA延长线上一点,CP切⊙O于P,弦PD⊥AB于E,过点B作BQ⊥CP于Q,交⊙O于H.
(1)如图1,求证:PQ=PE;
(2)如图2,G是圆上一点,∠GAB=30,连接AG交PD于F,连接BF,tan∠BFE=,求∠C的度数;
(3)如图3,在(2)的条件下,PD=6,连接QG交BC于点M,求QM的长.
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【题目】在平面直角坐标系中,设二次函数y1=mx2﹣6mx+8m(m为常数).
(1)若函数y1经过点(1,3),求函数y1的表达式;
(2)若m<0,当x<时,此二次函数y随x的增大而增大,求a的取值范围;
(3)已知一次函数y2=x﹣2,当y1y2>0时,求x的取值范围.
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【题目】附加题:
探究题:我们知道等腰三角形的两个底角相等,如下面每个图中的△ABC中AB、BC是两腰,所以∠BAC=∠BCA.利用这条性质,解决下面的问题:
已知下面的正多边形中,相邻四个顶点连接的对角线交于点O它们所夹的锐角为a.如图:
正五边形α=_____;正六边形α=______;正八边α=_____;当正多边形的边数是n时,α=______.
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【题目】如图所示,在四边形中,的角平分线及外角的平分线所在的直线相交于点,若,.
(1)如图(a)所示,,试用,表示,直接写出结论.
(2)如图(b)所示,,请在图中画出,并试用,表示.
(3)一定存在吗?若有,写出的值;若不一定,直接写出,满足什么条件时,不存在.
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【题目】十一黄金周期间,海洋中学决定组织部分优秀老师去北京旅游,天马旅行社推出如下收费标准:
(1)学校规定,人均旅游费高于700元,但又想低于1000元,那么该校所派人数应在什么范围内;
(2)已知学校已付旅游费27000元,问该校安排了多少名老师去北京旅游?
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【题目】如图,图中的小方格都是边长为1的正方形, △ABC与△A′ B′ C′是关于点0为位似中心的位似图形,它们的顶点都在小正方形的顶点上.
(1)画出位似中心点0;
(2)求出△ABC与△A′B′C′的位似比;
(3)以点0为位似中心,再画一个△A1B1C1,使它与△ABC的位似比等于1.5.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E为AB边的中点,以BE为边作等边△BDE,连接AD、CD.
(1)求证:AD=CD;
(2)①画图:在AC边上找一点H,使得BH+EH最小(要求:写出作图过程并画出图形,不用说明作图依据);
②当BC=2时,求出BH+EH的最小值.
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