Question

16．如图，已知点E、F分别是平行四边形ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF
（1）求证：△AFC≌△CEA；
（2）如果AC平分∠EAF，BE=$\frac{1}{2}$BC，判断BC与AC的位置关系，并且证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由点E、F分别是平行四边形ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF，可得AF=CE，AD∥BC，即可得∠FAC=∠ECA，继而利用SAS判定：△AFC≌△CEA；
（2）由AC平分∠EAF，易证得△AEC是等腰三角形，又由BE=$\frac{1}{2}$BC，可得AE=BE=CE，即可判定△ABC是直角三角形，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠FAC=∠ECA，
∵BE=DF，
∴AF=CE，
在△AFC和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=CE}\\{∠FAC=∠ECA}\\{AC=CA}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△CEA（SAS）；

（2）AB⊥AC．
理由：∵AC平分∠EAF，
∴∠CAF=∠CAE，
∵AD∥BC，
∴∠CAF=∠ACE，
∴∠CAE=∠ACE，
∴AE=CE，
∵BE=$\frac{1}{2}$BC，
∴BE=CE=AE，
∴∠B=∠BAE，∠EAC=∠ACE，
∴∠BAE+∠CAE=∠BAC=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴AB⊥AC．

点评 此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．能灵活应用平行四边形的性质是关键．