Question

5．如图1，已知等腰三角形ABC的顶角∠ABC=120°，等边三角形DEF的边DE=AB=1，若△DEF不动，将△ABC从BC与DF重合的位置开始（如图1），沿直线DE方向平移，且保持AB与DE在同一直线上，直到点A与点E重合为止．
（1）图2所示的是，在平移过程中，点B在DE上时，△ABC的AC、BC两边分别与△DEF的DF、EF两边交于点P，Q，R，求证：DB=PF；
（2）设平移距离DB=x，△ABC和△DEF重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）首先根据题意得到AD=DP，结合AB=DE=DF=1，即可证明DB=PF；
（2）当0＜x＜1时，用x表示出△PFR和△BQE的面积，利用△DEF的面积减去△PFR和△BQE的面积即可得到S与x的函数关系式；当1≤x＜2时，用x表示出△AER的面积即可．

解答 （1）证明：∵∠FDB=60°，∠A=30°，
∴∠APD=30°，
∴AD=DP，
∵AB=DE=DF，
∴AD+DB=DP+PF，
∴DB=PF；

（2）当0＜x＜1时，
∵DB=x，
∴PF=x，
∵∠A=∠APD=30°，
∴∠FPR=30°，
∵∠F=60°
∴∠FRP=90°，
∴PR=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴S_△PFR=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²=$\frac{\sqrt{3}}{8}$x²，
∴S_△BQE=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-x）2=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（1-x）2，
∴△ABC和△DEF重叠部分的面积为S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（1-x）²=-$\frac{3\sqrt{3}}{8}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x（0＜x＜1），
当1≤x＜2时，如图
BD=x，AD=x-1，AE=2-x，
∵∠CAB=30°，∠AER=60°，
∴∠ARE=90°，
∴RE=1-$\frac{1}{2}$x，AR=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴S_△AER=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$x）（$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）=$\frac{\sqrt{3}}{8}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
综上S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3\sqrt{3}{x}^{2}}{8}+\frac{\sqrt{3}}{2}x（0＜x＜1）}\\{\frac{\sqrt{3}}{8}{x}^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}（1≤x＜2）}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查了几何变换综合题，此题涉及到等腰三角形的性质、等边三角形的性质、平移的性质以及三角形面积的计算等知识，此题难度不大，解答（2）问需要分区间讨论．