Question

如图，AB∥CD，
（1）根据要求作图：①作∠CAB的平分线交CD于M；②作CN⊥AM于N．
（2）在（1）的条件下
①若∠ACD=114°，求∠MAB的度数；
②求证：△ACN≌△MCN．

Answer 1

考点：作图—复杂作图,全等三角形的判定

专题：

分析：（1）根据角平分线的作法作∠CAB的平分线交CD于M，再根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可；
（2）①根据角平分线的性质可得∠CAD=∠DAC=

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2

∠CAB，再根据平行线的性质可得∠C+∠CAB=180°，进而可得答案；
②根据垂线定义可得∠CNA=∠CNM=90°，然后再证明∠CAD=∠CDA，再加上公共边CN可利用AAS定理证明△ACN≌△MCN．

解答：解：（1）如图所示：

（2）①∵AM平分∠ACD，
∴∠CAD=∠DAC=

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2

∠CAB，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠CAB=180°，
∵∠ACD=114°，
∴∠CAD=66°，
∴∠MAB=33°；

②∵CN⊥AM，
∴∠CNA=∠CNM=90°，
∵AB∥CD，
∴∠ADC=∠DAB，
∴∠CAD=∠CDA，
在△ACN和△DCN中

∠CDA=∠CAD ∠CNA=∠CND CN=CN

，
∴△ACN≌△MCN（AAS）．

点评：此题主要考查了复杂作图，以及角平分线的性质，平行线的性质和全等三角形的判定，关键是正确作出图形．